부피로 이해하는 이중적분 시뮬레이션

이 실험 소개

선택한 영역 위에 작은 기둥을 세워 부호가 있는 부피를 구성합니다. 개별 셀의 기여를 살펴보고, 구적 오차와 원형 영역의 중점 마스크로 인해 추가되는 경계 면적 오차를 구분합니다.

I_{n} = (i, j) \in D_{n} \sum f (x_{i}, y_{j}) Δ x Δ y

원형 영역에서는 중점이 원판 안에 있는 셀을 포함합니다.

\iint_{r ec t} f d A = A [h + a c_{x} + b c_{y} + c (c_{x}^{2} + c_{y}^{2} + \frac{L _{x}^{2} + L _{y}^{2}}{12})]

이 정확한 공식은 표시된 다항식에 적용됩니다.

\iint_{d i s k} f d A = π R^{2} [h + a c_{x} + b c_{y} + c (c_{x}^{2} + c_{y}^{2} + R^{2} /2)]

원판 공식에는 반지름 제곱의 평균이 포함됩니다.

피적분 함수는 h + ax + by + c times x squared plus y squared입니다. 영역은 중심을 이동할 수 있는 축 정렬 직사각형 또는 원판입니다.
원형 경계에는 중점 포함 마스크를 사용합니다. 셀의 부분 면적을 정확히 계산하지 않으므로 수렴값이 진동할 수 있습니다.
표시 간격 때문에 기둥이 분리되어 보이지만, 합을 계산할 때는 셀 전체 면적을 사용합니다. 높이는 보고된 배율에 따라 압축되어 있으며 연속 표면은 적분 영역 바깥까지 이어집니다.

음수 기둥은 음의 기하학적 부피인가요?

부호가 있는 적분에 대한 음의 기여입니다. 그려진 기둥의 물리적 크기는 양수이며, 색상과 위치가 부호를 나타냅니다.

해석값에도 근사값과 동일한 중점 마스크를 사용하나요?

아니요. 정확한 다항식을 정확한 직사각형 또는 원판 영역에서 적분하므로, 구적 오차와 경계 오차를 모두 비교할 수 있는 독립적인 기준값을 제공합니다.