關於此實驗
在選定區域上以小柱體構成帶符號的體積。檢視各單元的貢獻，並將求積誤差與圓形區域中點遮罩造成的額外邊界面積誤差區分開來。
學習目標
- 將二重積分視為帶符號的累積量。
- 比較中點和與解析積分。
- 了解圓形邊界取樣可能導致網格誤差呈非單調變化。
使用方法
- 1選取一個柱體，並驗證高度乘以單元完整面積。
- 2細化矩形網格，並將帶符號的總和與解析值進行比較。
- 3允許高度為負，並解釋為什麼負柱會從積分值中扣除。
- 4使用圓形區域，並將網格單元表示的面積與圓盤的精確面積進行比較。
模型
假設
- 被積函數為 h + ax + by + c times x squared plus y squared。區域為軸對齊矩形或圓盤，且中心可移動。
- 圓形邊界使用中點包含遮罩。此方法不計算單元的精確部分面積，因此收斂結果可能會振盪。
- 顯示間隙會將柱體分隔開，但加總時使用的是完整單元面積。高度依照標示的比例壓縮，連續曲面則延伸至積分區域之外。
在課堂上試試這個實驗
- Q1即使許多柱體的高度不為零，為什麼帶符號的積分仍可能為零？
- Q2為什麼更精細的圓形網格有時會暫時產生更大的誤差？
常見問題
負柱代表負的幾何體積嗎？
它是帶符號積分中的負貢獻。所繪柱體的物理大小為正，其顏色和位置表示符號。
解析值使用與近似值相同的中點遮罩嗎？
不使用。它對精確矩形或圓盤區域上的精確多項式進行積分，為求積誤差和邊界誤差提供獨立的參考值。