Doppelintegrale als Volumen-Simulation

Über dieses Experiment

Erzeuge ein vorzeichenbehaftetes Volumen aus kleinen Säulen über einem ausgewählten Gebiet. Untersuche einzelne Zellbeiträge und trenne den Quadraturfehler vom zusätzlichen Randflächenfehler einer kreisförmigen Mittelpunktmaske.

Lernziele

Interpretiere ein Doppelintegral als vorzeichenbehaftete Aufsummierung.
Vergleiche Mittelpunktsummen mit einem analytischen Integral.
Erkenne, dass die Abtastung des Kreisrands zu einem nicht monotonen Gitterfehler führen kann.

Anleitung

1Wähle eine Säule aus und überprüfe Höhe mal vollständige Zellfläche.
2Verfeinern Sie ein rechteckiges Raster und vergleichen Sie die vorzeichenbehaftete Summe mit dem analytischen Wert.
3Lassen Sie negative Höhen zu und erklären Sie, warum negative Säulen vom Integral abgezogen werden.
4Verwenden Sie ein kreisförmiges Gebiet und vergleichen Sie die dargestellte Zellfläche mit der exakten Kreisfläche.

Das Modell

I_{n} = (i, j) \in D_{n} \sum f (x_{i}, y_{j}) Δ x Δ y

Ein kreisförmiges Gebiet enthält Zellen, deren Mittelpunkt innerhalb der Kreisscheibe liegt.

\iint_{r ec t} f d A = A [h + a c_{x} + b c_{y} + c (c_{x}^{2} + c_{y}^{2} + \frac{L _{x}^{2} + L _{y}^{2}}{12})]

Diese exakte Formel gilt für das dargestellte Polynom.

\iint_{d i s k} f d A = π R^{2} [h + a c_{x} + b c_{y} + c (c_{x}^{2} + c_{y}^{2} + R^{2} /2)]

Die Formel für die Kreisscheibe berücksichtigt den mittleren quadratischen Abstand vom Mittelpunkt.

Annahmen

Der Integrand ist h + ax + by + c mal x zum Quadrat plus y zum Quadrat. Die Gebiete sind achsenparallele Rechtecke oder Kreisscheiben mit verschiebbarem Mittelpunkt.
Die Kreisgrenze verwendet eine Maske, die auf dem Mittelpunkt basiert. Exakte Teilflächen von Zellen werden nicht berücksichtigt, daher kann die Konvergenz schwanken.
Abstände trennen die Säulen, aber für die Summen werden die vollständigen Zellflächen verwendet. Die Höhe wird mit einem angegebenen Maßstab komprimiert, und die kontinuierliche Fläche erstreckt sich über das Integrationsgebiet hinaus.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum kann ein vorzeichenbehaftetes Integral verschwinden, obwohl viele Säulen eine Höhe ungleich null haben?
Q2Warum kann ein feineres Kreisraster vorübergehend einen größeren Fehler aufweisen?

Häufig gestellte Fragen

Ist eine negative Säule ein negatives geometrisches Volumen?

Sie ist ein negativer Beitrag zum vorzeichenbehafteten Integral. Der physikalische Betrag der gezeichneten Säule ist positiv; ihre Farbe und Position geben das Vorzeichen an.

Verwendet der analytische Wert dieselbe Mittelpunktmaske wie die Näherung?

Nein. Er integriert das exakte Polynom über das exakte Rechteck oder die exakte Kreisscheibe und liefert damit einen unabhängigen Referenzwert sowohl für Quadratur- als auch für Randfehler.