この実験について
選択した領域上に小さな柱を並べて、符号付き体積を構成します。個々のセルの寄与を調べ、求積誤差と、円形領域の中点マスクによる境界面積の追加誤差を区別します。
学習目標
- 二重積分を符号付きの累積として解釈します。
- 中点和と解析的な積分を比較します。
- 円形境界のサンプリングでは、格子誤差が単調に減少しないことを理解します。
使い方
- 1柱を選択し、高さ×セル全体の面積を確認します。
- 2長方形の格子を細分化し、符号付きの和を解析値と比較します。
- 3高さに負の値を許可し、負の柱が積分値から差し引かれる理由を説明します。
- 4円形領域を使い、セルで表される面積を円の正確な面積と比較します。
モデル
前提条件
- 被積分関数は h + ax + by + c times x squared plus y squared です。領域は、中心を移動できる座標軸に平行な長方形または円盤です。
- 円形の境界には中点判定マスクを使います。セルの部分面積を正確に計算する方法ではないため、収束値が振動することがあります。
- 表示上の隙間によって柱は分かれて見えますが、和の計算にはセル全体の面積を使います。高さは表示された倍率で圧縮されており、連続曲面は積分領域の外側にも広がっています。
授業で試してみましょう
- Q1高さがゼロでない柱が多数あるのに、符号付き積分がゼロになることがあるのはなぜですか？
- Q2円形格子を細かくしたのに、誤差が一時的に大きくなることがあるのはなぜですか？
よくある質問
負の柱は、負の幾何学的体積を表しますか？
符号付き積分における負の寄与です。描かれた柱の物理的な大きさは正で、色と配置が符号を示します。
解析値には近似値と同じ中点マスクを使いますか？
いいえ。正確な多項式を正確な長方形または円盤の上で積分するため、求積誤差と境界誤差の両方を評価する独立した基準値が得られます。