关于此实验
在选定区域上用小柱体构造带符号的体积。检查各单元的贡献，并将求积误差与圆形区域中点掩模带来的额外边界面积误差区分开来。
学习目标
- 将二重积分理解为带符号的累积量。
- 比较中点和与解析积分。
- 认识到圆形边界采样可能导致网格误差非单调变化。
使用方法
- 1选择一个柱体，并验证高度乘以单元完整面积。
- 2细化矩形网格，并将带符号的和与解析值进行比较。
- 3允许高度为负，并解释为什么负柱会从积分值中扣除。
- 4使用圆形区域，并将网格单元表示的面积与圆盘的精确面积进行比较。
模型
假设
- 被积函数为 h + ax + by + c times x squared plus y squared。区域为轴对齐矩形或圆盘，且中心可移动。
- 圆形边界使用中点包含掩码。该方法不计算单元的精确部分面积，因此收敛结果可能出现振荡。
- 显示间隙会将柱体分隔开，但求和时使用的是完整单元面积。高度按报告的比例压缩，连续曲面则延伸到积分区域之外。
在课堂上试试这个实验
- Q1即使许多柱体的高度不为零，为什么带符号的积分仍可能为零？
- Q2为什么更精细的圆形网格有时会暂时产生更大的误差？
常见问题
负柱表示负的几何体积吗？
它是带符号积分中的负贡献。所绘柱体的物理大小为正，其颜色和位置表示符号。
解析值使用与近似值相同的中点掩膜吗？
不使用。它对精确矩形或圆盘区域上的精确多项式进行积分，为求积误差和边界误差提供独立的参考值。