이 실험 소개
곡선을 따라 점을 움직이며 접선의 기울기를 살펴보세요. x + h에 있는 두 번째 점이 할선을 정의합니다. h를 줄이면서 평균 변화율을 정확한 도함수와 비교해 보세요. 그래프에는 함수, 접선, 할선이 함께 표시되어 수치를 국소적인 기하학적 형태와 연결해 이해할 수 있습니다.
학습 목표
- 도함수를 국소 변화율이자 접선의 기울기로 해석하기
- 두 함숫값으로 할선의 기울기 계산하기
- h가 감소할수록 할선이 접선에 어떻게 가까워지는지 살펴보기
사용 방법
- 1x 제곱을 선택하고 접점을 x = 1로 이동하세요. h = 1일 때 정확한 도함수와 할선의 기울기를 비교해 보세요.
- 2‘h 절반으로 줄이기’를 반복하고 기울기 오차가 어떻게 변하는지 기록하세요.
- 3삼차곡선에서 도함수가 음수인 점으로 이동해 접선의 방향을 예측하세요.
- 4사인 함수를 선택하고 x = 0과 x = 1.57 근처에서 도함수를 비교하세요. 각도는 라디안 단위입니다.
모델
가정
- 표시된 구간에서 세 함수는 모두 매끄럽고, 사인 함수는 라디안 단위로 계산됩니다.
- 주황색 접선에는 해석적 도함수를 사용합니다. 파란색 할선의 기울기는 함수값 두 개로 직접 계산합니다.
- 양수인 h만 표시됩니다. 서로 다른 두 점이 계속 보이도록 슬라이더는 0.01에서 멈춥니다.
수업에서 해 보기
- Q1x의 제곱 함수에서 고정된 x에 대한 할선의 기울기는 도함수와 어떻게 다른가요?
- Q2삼차 함수의 접선이 수평인 곳은 어디인가요?
- Q3임의의 함수에서 양수인 h만으로 일치한다는 사실이 미분 가능성을 입증하지 못하는 이유는 무엇인가요?
자주 묻는 질문
h가 바뀌어도 도함수가 정확하게 유지되는 이유는 무엇인가요?
도함수는 해석적 공식으로 계산되며 h와는 무관합니다. 유한 구간의 할선은 별도의 근삿값을 제공하므로 도함수와 비교할 수 있습니다.
접선은 항상 곡선의 위쪽이나 아래쪽에 있나요?
아니요. 위치는 곡률에 따라 달라집니다. 볼록 함수 x²에서는 접선이 곡선 아래에 있지만, 다른 함수에서는 접선과 교차할 수 있습니다.