Interaktive Ableitungen-Simulation

Über dieses Experiment

Verschiebe einen Punkt entlang einer Kurve und untersuche die Tangentensteigung. Ein zweiter Punkt bei x + h definiert eine Sekante. Wenn du h verkleinerst, vergleiche ihre mittlere Änderungsrate mit der exakten Ableitung. Der Graph zeigt Funktion, Tangente und Sekante gemeinsam, sodass sich Zahlenwerte mit der lokalen Geometrie verknüpfen lassen.

Lernziele

Die Ableitung als lokale Änderungsrate und Tangentensteigung verstehen
Die Sekantensteigung aus zwei Funktionswerten berechnen
Untersuchen, wie sich die Sekante bei abnehmendem h der Tangente annähert

Anleitung

1Wähle x zum Quadrat und verschiebe den Berührpunkt auf x = 1. Vergleiche bei h = 1 die exakte Ableitung mit der Sekantensteigung.
2Verwende wiederholt „h halbieren“ und notiere, wie sich der Steigungsfehler verändert.
3Gehe auf der kubischen Kurve zu einem Punkt mit negativer Ableitung und sage die Richtung der Tangente voraus.
4Wähle den Sinus und vergleiche die Ableitung in der Nähe von x = 0 und x = 1,57. Die Winkel sind im Bogenmaß angegeben.

Das Modell

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Sekantensteigung über das Intervall von x bis x + h

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

Gleichung der Tangente bei x0

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

Analytische Ableitungen als Referenz

Annahmen

Alle drei Funktionen sind auf dem dargestellten Intervall glatt, wobei der Sinus im Bogenmaß ausgewertet wird.
Die orange Tangente verwendet eine analytische Ableitung. Die blaue Sekante wird direkt aus zwei Funktionswerten berechnet.
Es wird nur positives, von null verschiedenes h angezeigt. Der Schieberegler endet bei 0,01, damit zwei verschiedene Punkte sichtbar bleiben.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Wie unterscheidet sich bei x zum Quadrat die Sekantensteigung von der Ableitung an einem festen x?
Q2Wo hat die kubische Funktion eine waagerechte Tangente?
Q3Warum belegt die Übereinstimmung allein für positives h nicht, dass eine beliebige Funktion differenzierbar ist?

Häufig gestellte Fragen

Warum bleibt die Ableitung exakt, wenn sich h ändert?

Die Ableitung wird anhand der analytischen Formel unabhängig von h berechnet. Die endliche Sekante liefert eine separate Näherung, die damit verglichen werden kann.

Liegt die Tangente immer oberhalb oder unterhalb der Kurve?

Nein. Ihre Lage hängt von der Krümmung ab. Bei der konvexen Funktion x zum Quadrat liegt die Tangente unterhalb der Kurve, aber andere Funktionen können ihre Tangente schneiden.