導數

高中數學三個平滑函數的解析導數與有限割線斜率

黑色：函數橘色：切線藍色虛線：割線

在圖形上拖曳以移動切點。縮小 h，讓第二個點靠近切點。正弦函數使用弧度。

關於此實驗

沿著曲線移動一個點，觀察切線斜率。位於 x + h 的第二個點決定一條割線。逐漸縮小 h，並將平均變化率與精確導數進行比較。圖中同時顯示函數、切線和割線，讓你將數值與局部幾何形態連結起來。

學習目標

將導數解讀為局部變化率與切線斜率
根據兩個函數值計算割線斜率
探究 h 減小時割線如何趨近切線

使用方法

1選擇 x 的平方，並將切點移至 x = 1。比較 h = 1 時的精確導數和割線斜率。
2反覆使用「將 h 減半」，並記錄斜率誤差如何變化。
3移動到三次曲線上導數為負的點，並預測切線的方向。
4選擇正弦函數，比較 x = 0 和 x = 1.57 附近的導數。角度單位為弧度。

模型

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

從 x 到 x + h 的區間上的割線斜率

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

作為差商極限的導數

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

在 x0 處的切線方程式

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

用作參照的解析導數

假設

在顯示的區間內，三個函數都平滑；正弦函數的角度以弧度計算。
橘色切線使用解析導數。藍色割線的斜率由兩個函數值直接計算得出。
僅顯示正的非零 h。滑桿在 0.01 處停止，以確保兩個不同的點清晰可見。

在課堂上試試這個實驗

Q1對於 x 的平方函數，在固定的 x 處，割線斜率與導數有何不同？
Q2三次函數在哪些位置有水平切線？
Q3為什麼僅憑正 h 時的一致性，不能證明任意函數可微？

常見問題

為什麼 h 改變時導數仍然是精確的？

導數根據解析公式計算，與 h 無關。有限割線提供一個獨立的近似值，可與導數進行比較。

切線總是在曲線的上方或下方嗎？

不是。切線的位置取決於曲率。對於凸函數 x²，切線位於曲線下方；但其他函數可能會與其切線相交。