導関数

高等学校数学3つの滑らかな関数の解析的導関数と有限な割線の傾き

黒：関数オレンジ：接線青の破線：割線

グラフ上をドラッグして接点を移動します。hを小さくすると、2つ目の点が近づきます。正弦関数ではラジアンを使用します。

この実験について

曲線上の点を動かして、接線の傾きを確認します。x + h にある2つ目の点が割線を定めます。hを小さくしながら、平均変化率を正確な導関数と比較しましょう。グラフには関数、接線、割線が同時に表示されるため、数値と局所的な幾何学的形状を結びつけて理解できます。

学習目標

導関数を局所的な変化率および接線の傾きとして捉える
2つの関数値から割線の傾きを計算する
hを小さくすると割線が接線にどのように近づくかを調べる

使い方

1xの2乗を選び、接点を x = 1 に移動します。h = 1 のときの正確な導関数と割線の傾きを比較しましょう。
2「hを半分にする」を繰り返し、傾きの誤差がどのように変化するか記録します。
3三次曲線上で導関数が負になる点に移動し、接線の向きを予測してください。
4正弦を選び、x = 0 と x = 1.57 付近で導関数を比較してください。角度の単位はラジアンです。

モデル

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

x から x + h までの区間における割線の傾き

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

差商の極限としての導関数

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

x0 における接線の方程式

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

基準として使われる解析的な導関数

前提条件

表示された区間では、正弦をラジアンで評価した場合も含め、3つの関数はいずれも滑らかです。
オレンジ色の接線には解析的な導関数を使っています。青色の割線は、関数の2つの値から直接計算されます。
正の h のみが表示されます。異なる2点が見えるように、スライダーの最小値は 0.01 です。

授業で試してみましょう

Q1x の2乗では、固定した x において割線の傾きは導関数とどのように異なりますか？
Q2三次関数の接線が水平になるのはどこですか？
Q3任意の関数について、正の h だけで一致しても微分可能性が証明されないのはなぜですか？

よくある質問

h を変えても導関数が正確なままなのはなぜですか？

導関数は解析式から評価され、h とは独立しています。有限差分の割線は別個の近似値を与え、導関数と比較できます。

接線は常に曲線の上側または下側にありますか？

いいえ。位置は曲率によって異なります。凸関数 x² では接線は曲線の下側にありますが、接線と交差する関数もあります。