Informazioni su questo esperimento
Sposta un punto lungo una curva e osserva la pendenza della tangente. Un secondo punto in x + h definisce una secante. Riducendo h, confronta il suo tasso medio di variazione con la derivata esatta. Il grafico mostra insieme la funzione, la tangente e la secante, così da collegare i valori numerici alla geometria locale.
Obiettivi di apprendimento
- Interpretare la derivata come tasso di variazione locale e pendenza della tangente
- Calcolare la pendenza di una secante da due valori della funzione
- Esaminare come la secante si avvicina alla tangente al diminuire di h
Come si usa
- 1Scegli x al quadrato e sposta il punto di tangenza su x = 1. Confronta la derivata esatta e la pendenza della secante per h = 1.
- 2Usa ripetutamente «Dimezza h» e annota come cambia l'errore della pendenza.
- 3Spostati su un punto della curva cubica in cui la derivata è negativa e prevedi la direzione della tangente.
- 4Scegli il seno e confronta la derivata vicino a x = 0 e x = 1,57. Gli angoli sono espressi in radianti.
Il modello
Ipotesi
- Tutte e tre le funzioni sono regolari nell’intervallo visualizzato; il seno è calcolato in radianti.
- La tangente arancione usa una derivata analitica. La secante blu è calcolata direttamente a partire da due valori della funzione.
- Viene mostrato solo h positivo e diverso da zero. Il cursore si ferma a 0,01 per mantenere visibili due punti distinti.
Provalo in classe
- Q1Per x al quadrato, in che modo la pendenza della secante differisce dalla derivata in un x fissato?
- Q2Dove ha la funzione cubica una tangente orizzontale?
- Q3Perché la concordanza per i soli valori positivi di h non dimostra che una funzione arbitraria sia derivabile?
Domande frequenti
Perché la derivata rimane esatta quando h cambia?
La derivata viene calcolata dalla formula analitica, indipendentemente da h. La secante finita fornisce un’approssimazione separata con cui confrontarla.
La tangente si trova sempre sopra o sotto la curva?
No. La sua posizione dipende dalla curvatura. Per la funzione convessa x al quadrato, la tangente si trova sotto la curva, ma altre funzioni possono intersecare la propria tangente.