Simulation interactive de Dérivées

À propos de cette expérience

Déplacez un point le long d’une courbe et observez la pente de la tangente. Un second point en x + h définit une sécante. À mesure que vous réduisez h, comparez son taux de variation moyen à la dérivée exacte. Le graphique montre ensemble la fonction, la tangente et la sécante, afin de relier les valeurs numériques à la géométrie locale.

Objectifs pédagogiques

Interpréter la dérivée comme un taux de variation local et comme la pente de la tangente
Calculer la pente d’une sécante à partir de deux valeurs de la fonction
Étudier comment la sécante se rapproche de la tangente lorsque h diminue

Comment l’utiliser

1Choisissez x au carré et déplacez le point de tangence jusqu’à x = 1. Comparez la dérivée exacte et la pente de la sécante pour h = 1.
2Utilisez plusieurs fois « Diviser h par deux » et notez comment l’erreur sur la pente évolue.
3Déplace-toi vers un point de la courbe cubique où la dérivée est négative et prédis la direction de la tangente.
4Choisis le sinus et compare la dérivée près de x = 0 et de x = 1,57. Les angles sont exprimés en radians.

Le modèle

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Pente de la sécante sur l’intervalle de x à x + h

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Dérivée comme limite de quotients différentiels

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

Équation de la tangente en x0

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

Dérivées analytiques utilisées comme référence

Hypothèses

Les trois fonctions sont régulières sur l’intervalle affiché, et le sinus est évalué en radians.
La tangente orange utilise une dérivée analytique. La sécante bleue est calculée directement à partir de deux valeurs de la fonction.
Seules les valeurs positives de h non nulles sont affichées. Le curseur s’arrête à 0,01 afin que deux points distincts restent visibles.

À essayer en classe

Q1Pour x au carré, en quoi la pente de la sécante diffère-t-elle de la dérivée en un x fixé ?
Q2Où la fonction cubique a-t-elle une tangente horizontale ?
Q3Pourquoi le fait que les valeurs concordent uniquement pour h positif ne suffit-il pas à établir qu’une fonction arbitraire est dérivable ?

Foire aux questions

Pourquoi la dérivée reste-t-elle exacte lorsque h change ?

La dérivée est calculée à partir de la formule analytique, indépendamment de h. La sécante finie fournit une approximation distincte à laquelle elle peut être comparée.

La tangente se trouve-t-elle toujours au-dessus ou au-dessous de la courbe ?

Non. Sa position dépend de la courbure. Pour la fonction convexe x au carré, la tangente se trouve au-dessous de la courbe, mais d’autres fonctions peuvent couper leur tangente.