Simulación interactiva de Derivadas

Acerca de este experimento

Mueve un punto a lo largo de una curva y examina la pendiente de la tangente. Un segundo punto en x + h define una secante. Al reducir h, compara su tasa media de cambio con la derivada exacta. La gráfica muestra juntas la función, la tangente y la secante, para relacionar los valores numéricos con la geometría local.

Objetivos de aprendizaje

Interpretar la derivada como una tasa de cambio local y como la pendiente de la tangente
Calcular la pendiente de una secante a partir de dos valores de la función
Investigar cómo la secante se aproxima a la tangente a medida que disminuye h

Cómo usarlo

1Elige x al cuadrado y mueve el punto de tangencia hasta x = 1. Compara la derivada exacta con la pendiente de la secante cuando h = 1.
2Usa «Reducir h a la mitad» varias veces y anota cómo cambia el error de la pendiente.
3Muévete a un punto de la curva cúbica donde la derivada sea negativa y predice la dirección de la tangente.
4Elige el seno y compara la derivada cerca de x = 0 y x = 1,57. Los ángulos están expresados en radianes.

El modelo

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Pendiente de la secante en el intervalo de x a x + h

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

Derivada como límite de cocientes incrementales

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

Ecuación de la tangente en x0

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

Derivadas analíticas utilizadas como referencia

Supuestos

Las tres funciones son suaves en el intervalo mostrado; el seno se evalúa en radianes.
La tangente naranja utiliza una derivada analítica. La secante azul se calcula directamente a partir de dos valores de la función.
Solo se muestra h positivo distinto de cero. El control deslizante se detiene en 0,01 para mantener visibles dos puntos distintos.

Pruébalo en clase

Q1Para x al cuadrado, ¿en qué se diferencia la pendiente de la secante de la derivada en un x fijo?
Q2¿Dónde tiene la función cúbica una tangente horizontal?
Q3¿Por qué la concordancia solo para valores positivos de h no demuestra que una función arbitraria sea derivable?

Preguntas frecuentes

¿Por qué la derivada sigue siendo exacta cuando cambia h?

La derivada se calcula a partir de la fórmula analítica, independientemente de h. La secante finita proporciona una aproximación independiente que puede compararse con ella.

¿La tangente está siempre por encima o por debajo de la curva?

No. Su posición depende de la curvatura. Para la función convexa x al cuadrado, la tangente queda por debajo de la curva, pero otras funciones pueden cruzar su tangente.