导数

高中数学三个光滑函数的解析导数与有限割线斜率

黑色：函数橙色：切线蓝色虚线：割线

在图像上拖动以移动切点。减小 h，让第二个点靠近切点。正弦函数使用弧度。

关于此实验

沿曲线移动一个点，观察切线斜率。位于 x + h 处的第二个点确定一条割线。逐渐减小 h，并将平均变化率与精确导数进行比较。图中同时显示函数、切线和割线，帮助你将数值与局部几何形态联系起来。

学习目标

将导数理解为局部变化率和切线斜率
根据两个函数值计算割线斜率
探究 h 减小时割线如何趋近于切线

使用方法

1选择 x 的平方，并将切点移动到 x = 1。比较 h = 1 时的精确导数和割线斜率。
2反复使用“将 h 减半”，并记录斜率误差的变化。
3移动到三次曲线上导数为负的点，并预测切线的方向。
4选择正弦函数，比较 x = 0 和 x = 1.57 附近的导数。角度单位为弧度。

模型

m_{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

从 x 到 x + h 的区间上的割线斜率

f' (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

作为差商极限的导数

y = f (x_{0}) + f' (x_{0}) (x - x_{0})

在 x0 处的切线方程

(x^{2})' = 2 x, (x^{3} /3 - x)' = x^{2} - 1, (sin x)' = cos x

用作参照的解析导数

假设

在显示的区间内，三个函数都光滑；正弦函数的角度以弧度计算。
橙色切线使用解析导数。蓝色割线的斜率由两个函数值直接计算得出。
仅显示正的非零 h。滑块在 0.01 处停止，以确保两个不同的点清晰可见。

在课堂上试试这个实验

Q1对于 x 的平方函数，在固定的 x 处，割线斜率与导数有何不同？
Q2三次函数在哪些位置有水平切线？
Q3为什么仅凭正 h 时的一致性，不能证明任意函数可导？

常见问题

为什么 h 变化时导数仍然是精确的？

导数根据解析公式计算，与 h 无关。有限割线提供了一个单独的近似值，可与导数进行比较。

切线总是在曲线的上方或下方吗？

不是。切线的位置取决于曲率。对于凸函数 x²，切线位于曲线下方；但其他函数可能会与其切线相交。