이 실험 소개
직사각형을 사용해 정적분을 근사하고, 그 합을 정확한 원시함수 값과 비교해 보세요. 왼쪽 끝점, 중점 또는 오른쪽 끝점 표본 추출을 선택하고, 상한과 하한을 변경한 다음 직사각형 수를 늘릴 수 있습니다. 적분 구간이 왼쪽에서 오른쪽으로 향할 때 가로축 아래 영역은 음수로 기여합니다. 상한과 하한을 바꾸면 적분의 부호도 반전됩니다.
학습 목표
- 표본 위치를 다르게 하여 균일 리만 합 만들기
- 수치 근사 오차를 해석적 적분과 비교하기
- 부호가 있는 누적값과 기하학적 전체 넓이를 구분하기
사용 방법
- 1[0, 2]에서 x의 제곱에 대해 직사각형 8개를 사용한 왼쪽 끝점, 중점, 오른쪽 끝점 합을 비교합니다.
- 2직사각형의 개수를 몇 차례 두 배로 늘리고 절대 오차를 기록합니다.
- 3y = x를 선택하고 구간의 양 끝을 −2와 2로 설정합니다. 부호가 있는 항들이 서로 상쇄되는 이유를 설명합니다.
- 4구간의 양 끝을 바꾸고 정확한 적분값과 리만 합의 부호를 확인합니다. 양 끝을 같게 설정하고 결과를 확인합니다.
모델
가정
- 선택한 함수는 연속입니다. 정확한 기준값은 각 함수의 해석적 원시함수를 사용합니다.
- 모든 직사각형의 부호가 있는 폭은 같습니다. 왼쪽과 오른쪽은 방향이 지정된 각 부분구간의 시작점과 끝점을 가리키므로, b가 a보다 작으면 그림에서의 역할이 서로 바뀝니다.
- 옅은 색으로 채워진 부분은 기하학적 영역을 나타내며, 표시값에는 함수의 부호와 적분 구간 경계의 순서가 반영됩니다. 사인 함수에는 라디안을 사용합니다.
수업에서 해 보기
- Q1[0, 2]에서 x의 제곱을 왼쪽 끝점으로 샘플링하면 적분값을 과소평가하는 이유는 무엇인가요?
- Q2음영 영역의 면적이 0이 아닌데 정적분은 0일 수 있나요? 예를 들어 보세요.
- Q3직사각형의 개수를 두 배로 늘리면 오차가 항상 절반으로 줄어드나요? 중점 샘플링과 끝점 샘플링을 비교해 보세요.
자주 묻는 질문
적분값이 음수가 될 수 있는 이유는 무엇인가요?
적분 구간의 경계가 이 순서일 때 축 아래에 있는 값은 음의 기여를 합니다. 경계를 반대로 하면 모든 기여의 부호가 바뀝니다. 정적분은 기하학적 넓이가 반드시 아니라 부호를 고려한 누적량을 나타냅니다.
y = x의 중점 합 오차가 0인 이유는 무엇인가요?
일차 함수는 각 부분 구간에서의 평균값이 중점에서의 함수값과 같습니다. 따라서 중점을 높이로 한 직사각형으로 직선을 적분하면 부동소수점 반올림 오차를 제외하고 정확한 결과를 얻습니다.