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Integrales definidas

Educación secundaria superiorMatemáticasIntegrales definidas con signo y sumas de Riemann uniformes con valores de referencia analíticos

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Acerca de este experimento

Aproxima una integral definida con rectángulos y compara la suma con una primitiva exacta. Elige un muestreo por la izquierda, por el punto medio o por la derecha, cambia los límites y aumenta el número de rectángulos. Las regiones por debajo del eje horizontal contribuyen negativamente cuando los límites van de izquierda a derecha. Invertir los límites invierte el signo de la integral.

Objetivos de aprendizaje

  • Construye una suma de Riemann uniforme con diferentes posiciones de muestreo
  • Compara el error de aproximación numérica con una integral analítica
  • Distingue entre la acumulación con signo y el área geométrica total

Cómo usarlo

  1. 1Para x al cuadrado en [0, 2], compara las sumas izquierda, del punto medio y derecha con 8 rectángulos.
  2. 2Duplica varias veces el número de rectángulos y registra el error absoluto.
  3. 3Elige y = x y los límites −2 y 2. Explica la cancelación de las contribuciones con signo.
  4. 4Intercambia los límites y comprueba los signos tanto de la integral exacta como de la suma de Riemann. Iguala los límites y comprueba el resultado.

El modelo

Suma uniforme: c es 0 para el muestreo izquierdo, 1/2 para el del punto medio y 1 para el derecho
Teorema fundamental del cálculo, con F como una primitiva
Invertir el orden de los límites invierte el signo

Supuestos

  • Las funciones seleccionadas son continuas. Los valores exactos de referencia utilizan sus primitivas analíticas.
  • Todos los rectángulos tienen el mismo ancho con signo. Izquierda y derecha se refieren al inicio y al final de cada subintervalo orientado, por lo que sus papeles visuales se invierten cuando b es menor que a.
  • El relleno claro muestra la región geométrica, mientras que los indicadores tienen en cuenta el signo de la función y el orden de los límites. El seno usa radianes.

Pruébalo en clase

  1. Q1¿Por qué la aproximación por extremos izquierdos subestima la integral de x al cuadrado en [0, 2]?
  2. Q2¿Puede una región sombreada distinta de cero tener una integral definida igual a cero? Da un ejemplo.
  3. Q3¿Duplicar el número de rectángulos siempre reduce a la mitad el error? Compara el muestreo en los puntos medios y en los extremos.

Preguntas frecuentes

¿Por qué puede ser negativa la integral?

Con límites de integración crecientes, los valores por debajo del eje contribuyen negativamente. Invertir los límites cambia el signo de cada contribución. Una integral definida mide la acumulación con signo, no necesariamente el área geométrica.

¿Por qué el error de la suma de puntos medios para y = x es cero?

Una función lineal tiene el mismo valor promedio en cada subintervalo que su valor en el punto medio. Por tanto, los rectángulos construidos en los puntos medios integran una recta exactamente, salvo por el redondeo de coma flotante.