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Intégrales définies

LycéeMathématiquesIntégrales définies signées et sommes de Riemann uniformes avec des valeurs de référence analytiques

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À propos de cette expérience

Approximez une intégrale définie avec des rectangles et comparez la somme à une primitive exacte. Choisissez un échantillonnage à gauche, au milieu ou à droite, modifiez les bornes et augmentez le nombre de rectangles. Les régions situées sous l’axe horizontal contribuent négativement lorsque les bornes vont de gauche à droite. Inverser les bornes inverse le signe de l’intégrale.

Objectifs pédagogiques

  • Construire une somme de Riemann uniforme avec différentes positions d’échantillonnage
  • Comparer l’erreur d’approximation numérique avec une intégrale analytique
  • Distinguer l’accumulation signée de l’aire géométrique totale

Comment l’utiliser

  1. 1Pour x au carré sur [0, 2], comparer les sommes à gauche, au milieu et à droite avec 8 rectangles.
  2. 2Doubler plusieurs fois le nombre de rectangles et relever l’erreur absolue.
  3. 3Choisir y = x et les bornes −2 et 2. Expliquer l’annulation des contributions signées.
  4. 4Inverser les bornes et vérifier les signes de l’intégrale exacte et de la somme de Riemann. Prendre des bornes égales et vérifier le résultat.

Le modèle

Somme uniforme : c vaut 0 pour l’échantillonnage à gauche, 1/2 au milieu et 1 à droite
Théorème fondamental de l’analyse, avec F une primitive
Inverser l’ordre des bornes inverse le signe

Hypothèses

  • Les fonctions sélectionnées sont continues. Les valeurs de référence exactes utilisent leurs primitives analytiques.
  • Tous les rectangles ont la même largeur signée. Gauche et droite désignent le début et la fin de chaque sous-intervalle orienté ; leurs rôles visuels s’inversent donc lorsque b est inférieur à a.
  • Le remplissage clair représente la région géométrique, tandis que les affichages tiennent compte du signe de la fonction et de l’ordre des bornes. Le sinus utilise les radians.

À essayer en classe

  1. Q1Pourquoi l’échantillonnage aux extrémités gauches sous-estime-t-il l’intégrale de x au carré sur [0, 2] ?
  2. Q2Une région hachurée non nulle peut-elle avoir une intégrale définie égale à zéro ? Donnez un exemple.
  3. Q3Doubler le nombre de rectangles divise-t-il toujours l’erreur par deux ? Comparez l’échantillonnage aux points milieux et aux extrémités.

Foire aux questions

Pourquoi l’intégrale peut-elle être négative ?

Lorsque les bornes sont croissantes, les valeurs situées sous l’axe contribuent négativement. Inverser les bornes change le signe de chaque contribution. Une intégrale définie mesure une accumulation signée, pas nécessairement une aire géométrique.

Pourquoi l’erreur de la somme des points milieux pour y = x est-elle nulle ?

Une fonction linéaire a la même valeur moyenne sur chaque sous-intervalle que sa valeur au point milieu. Les rectangles aux points milieux intègrent donc exactement une droite, à l’arrondi en virgule flottante près.