Bestimmte Integrale-Simulation

Über dieses Experiment

Nähere ein bestimmtes Integral mit Rechtecken an und vergleiche die Summe mit einer exakten Stammfunktion. Wähle eine Abtastung am linken Rand, am Mittelpunkt oder am rechten Rand, ändere die Grenzen und erhöhe die Anzahl der Rechtecke. Bereiche unterhalb der horizontalen Achse tragen negativ bei, wenn die Grenzen von links nach rechts verlaufen. Das Vertauschen der Grenzen kehrt das Vorzeichen des Integrals um.

Lernziele

Erstelle eine gleichmäßige Riemann-Summe mit verschiedenen Abtastpositionen
Vergleiche den numerischen Näherungsfehler mit einem analytischen Integral
Unterscheide zwischen vorzeichenbehafteter Akkumulation und der gesamten geometrischen Fläche

Anleitung

1Vergleiche für x zum Quadrat auf [0, 2] die linken, mittleren und rechten Summen mit 8 Rechtecken.
2Verdopple die Anzahl der Rechtecke mehrmals und notiere den absoluten Fehler.
3Wähle y = x und die Grenzen −2 und 2. Erkläre die Aufhebung der vorzeichenbehafteten Beiträge.
4Vertausche die Grenzen und überprüfe die Vorzeichen sowohl des exakten Integrals als auch der Riemann-Summe. Setze die Grenzen gleich und überprüfe das Ergebnis.

Das Modell

Δ x = \frac{b - a}{n}, S_{n} = i = 0 \sum n - 1 f (a + (i + c) Δ x) Δ x

Gleichmäßige Summe: c ist 0 für die linke, 1/2 für die mittlere und 1 für die rechte Abtastung

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, mit F als einer Stammfunktion

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

Das Vertauschen der Reihenfolge der Grenzen kehrt das Vorzeichen um

Annahmen

Die ausgewählten Funktionen sind stetig. Die exakten Referenzwerte verwenden ihre analytischen Stammfunktionen.
Alle Rechtecke haben die gleiche vorzeichenbehaftete Breite. Links und rechts beziehen sich auf den Anfang und das Ende jedes orientierten Teilintervalls; daher kehren sich ihre visuellen Rollen um, wenn b kleiner als a ist.
Die helle Füllung zeigt den geometrischen Bereich, während die Anzeigen das Vorzeichen der Funktion und die Reihenfolge der Integrationsgrenzen berücksichtigen. Der Sinus verwendet Bogenmaß.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum unterschätzt die Abtastung an den linken Intervallenden das Integral von x zum Quadrat auf [0, 2]?
Q2Kann ein schraffierter Bereich ungleich null ein bestimmtes Integral von null haben? Nenne ein Beispiel.
Q3Halbiert eine Verdopplung der Rechteckanzahl immer den Fehler? Vergleiche die Abtastung an den Mittelpunkten und an den Intervallenden.

Häufig gestellte Fragen

Warum kann das Integral negativ sein?

Bei aufsteigenden Integrationsgrenzen tragen Werte unterhalb der Achse negativ bei. Eine Umkehrung der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen jedes Beitrags. Ein bestimmtes Integral misst die vorzeichenbehaftete Akkumulation, nicht notwendigerweise den geometrischen Flächeninhalt.

Warum ist der Fehler der Mittelpunktsumme für y = x gleich null?

Eine lineare Funktion hat auf jedem Teilintervall denselben Mittelwert wie ihren Funktionswert am Mittelpunkt. Mittelpunktsrechtecke integrieren eine Gerade daher exakt, abgesehen von Rundungsfehlern bei Gleitkommazahlen.