この実験について
長方形を使って定積分を近似し、その和を厳密な原始関数による値と比較します。左端・中点・右端のサンプリングを選び、上下限を変更して、長方形の数を増やせます。積分区間が左から右の場合、横軸より下の領域は負の寄与となります。上下限を逆にすると、積分の符号も反転します。
学習目標
- サンプル位置を変えて一様なリーマン和を作る
- 数値近似の誤差を解析的な積分と比較する
- 符号付きの累積と幾何学的な面積の合計を区別する
使い方
- 1[0, 2] 上の x の二乗について、8個の長方形を使った左端点・中点・右端点の和を比較する。
- 2長方形の数を数回にわたって倍増させ、絶対誤差を記録する。
- 3y = x、積分区間の端点を −2 と 2 に設定する。符号付きの寄与が相殺されることを説明する。
- 4積分区間の端点を入れ替え、定積分の厳密値とリーマン和の符号を確認する。端点を等しくして結果を確認する。
モデル
前提条件
- 選択した関数は連続です。厳密な参照値には、それらの解析的な原始関数を用います。
- すべての長方形の符号付きの幅は等しいです。左端点と右端点は、向き付けられた各小区間の始点と終点を指すため、b が a より小さい場合は図での役割が逆になります。
- 淡い塗りつぶしは幾何学的な領域を示し、数値表示には関数の符号と積分区間の上下限の順序が反映されます。正弦関数にはラジアンを使用します。
授業で試してみましょう
- Q1[0, 2] における x の二乗の積分を左端点サンプリングで過小評価するのはなぜですか？
- Q2影付きの領域の面積がゼロでないのに、定積分がゼロになることはありますか？例を挙げてください。
- Q3長方形の数を2倍にすると、誤差は必ず半分になりますか？中点サンプリングと端点サンプリングを比較してください。
よくある質問
積分が負になることがあるのはなぜですか？
積分区間の上下限がこの順序の場合、軸より下の値は負に寄与します。上下限を逆にすると、すべての寄与の符号が変わります。定積分が表すのは符号付きの累積であり、必ずしも幾何学的な面積ではありません。
y = x の中点和の誤差がゼロになるのはなぜですか？
一次関数は、各小区間での平均値が中点での値と一致します。そのため、中点を高さとする長方形で直線を積分すると、浮動小数点の丸め誤差を除いて正確な結果が得られます。