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Integrali definiti

Scuola secondaria di secondo gradoMatematicaIntegrali definiti con segno e somme di Riemann uniformi con valori di riferimento analitici

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Informazioni su questo esperimento

Approssima un integrale definito con dei rettangoli e confronta la somma con una primitiva esatta. Scegli il campionamento a sinistra, al punto medio o a destra, modifica gli estremi e aumenta il numero di rettangoli. Le regioni al di sotto dell’asse orizzontale contribuiscono negativamente quando gli estremi vanno da sinistra a destra. Invertire gli estremi inverte il segno dell’integrale.

Obiettivi di apprendimento

  • Costruisci una somma di Riemann uniforme con diverse posizioni di campionamento
  • Confronta l’errore di approssimazione numerica con un integrale analitico
  • Distingui l’accumulo con segno dall’area geometrica totale

Come si usa

  1. 1Per x al quadrato su [0, 2], confronta le somme a sinistra, al punto medio e a destra con 8 rettangoli.
  2. 2Raddoppia più volte il numero di rettangoli e annota l’errore assoluto.
  3. 3Scegli y = x e gli estremi −2 e 2. Spiega la cancellazione dei contributi con segno.
  4. 4Scambia gli estremi e controlla i segni sia dell’integrale esatto sia della somma di Riemann. Imposta estremi uguali e controlla il risultato.

Il modello

Somma uniforme: c è 0 per il campionamento a sinistra, 1/2 per quello al punto medio e 1 per quello a destra
Teorema fondamentale del calcolo, con F come primitiva
Invertire l’ordine degli estremi inverte il segno

Ipotesi

  • Le funzioni selezionate sono continue. I valori di riferimento esatti utilizzano le loro primitive analitiche.
  • Tutti i rettangoli hanno la stessa larghezza con segno. Sinistra e destra si riferiscono all’inizio e alla fine di ciascun sottointervallo orientato, quindi i loro ruoli visivi si invertono quando b è minore di a.
  • Il riempimento chiaro mostra la regione geometrica, mentre le letture tengono conto del segno della funzione e dell’ordine degli estremi. Il seno usa i radianti.

Provalo in classe

  1. Q1Perché il campionamento agli estremi sinistri sottostima l’integrale di x al quadrato su [0, 2]?
  2. Q2Una regione ombreggiata diversa da zero può avere un integrale definito uguale a zero? Fai un esempio.
  3. Q3Raddoppiare il numero di rettangoli dimezza sempre l’errore? Confronta il campionamento nei punti medi e agli estremi.

Domande frequenti

Perché l’integrale può essere negativo?

Con estremi di integrazione crescenti, i valori al di sotto dell’asse contribuiscono negativamente. Invertire gli estremi cambia il segno di ogni contributo. Un integrale definito misura l’accumulo con segno, non necessariamente l’area geometrica.

Perché l’errore della somma dei punti medi per y = x è zero?

Una funzione lineare ha lo stesso valore medio su ogni sottointervallo del suo valore nel punto medio. I rettangoli costruiti sui punti medi integrano quindi una retta esattamente, a parte gli arrotondamenti in virgola mobile.