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定積分

高中數學帶符號的定積分、均勻黎曼和及解析參考值

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關於此實驗

用矩形近似定積分，並將求和結果與精確的原函數值進行比較。選擇左端點、中點或右端點取樣，更改積分上下限，並增加矩形數量。當積分區間從左向右時，水平軸下方的區域會產生負貢獻。反轉上下限會使積分符號反轉。

學習目標

  • 使用不同的取樣位置構造均勻黎曼和
  • 將數值近似誤差與解析積分進行比較
  • 區分帶符號的累積量與幾何總面積

使用方法

  1. 1對於區間 [0, 2] 上的 x 平方，比較使用 8 個矩形時的左端點和、中點和與右端點和。
  2. 2將矩形數量連續加倍數次，並記錄絕對誤差。
  3. 3選擇 y = x，區間端點設為 −2 和 2。說明帶符號的貢獻為何會彼此抵銷。
  4. 4交換區間端點，檢查精確積分值和黎曼和的符號。將兩個端點設為相等並檢查結果。

模型

等距分割求和：左端點取樣時 c = 0，中點取樣時 c = 1/2，右端點取樣時 c = 1
微積分基本定理，其中 F 是一個原函數
調換積分端點的順序會使符號反轉

假設

  • 所選函數皆為連續函數。精確參考值使用它們的解析原函數計算。
  • 所有矩形的帶符號寬度都相等。左端點和右端點分別指每個有向子區間的起點和終點，因此當 b 小於 a 時，它們在圖中的作用會互換。
  • 淺色填滿的部分表示幾何區域，讀數則包含函數符號以及積分上下限的順序。正弦函數使用弧度。

在課堂上試試這個實驗

  1. Q1為什麼在 [0, 2] 上以左端點取樣會低估 x 的平方的積分？
  2. Q2陰影區域的面積不為零，但定積分卻為零，這可能嗎？請舉例說明。
  3. Q3將矩形數量加倍，誤差就一定會減半嗎？請比較中點取樣和端點取樣。

常見問題

為什麼積分可能為負？

當積分上下限按此順序排列時，座標軸下方的值會產生負貢獻。調換上下限會改變每一項貢獻的符號。定積分衡量的是帶符號的累積量，不一定是幾何面積。

為什麼 y = x 的中點和誤差為零？

線性函數在每個子區間上的平均值都等於其中點處的函數值。因此，以中點矩形對直線積分可以得到精確結果，浮點捨入誤差除外。