定积分

高中数学带符号的定积分、均匀黎曼和及解析参考值

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关于此实验

用矩形近似定积分，并将求和结果与精确的原函数值进行比较。选择左端点、中点或右端点采样，更改积分上下限，并增加矩形数量。当积分区间从左向右时，水平轴下方的区域会产生负贡献。反转上下限会使积分符号反转。

学习目标

使用不同的采样位置构造均匀黎曼和
将数值近似误差与解析积分进行比较
区分带符号的累积量与几何总面积

使用方法

1对于区间 [0, 2] 上的 x 平方，比较使用 8 个矩形时的左端点和、中点和与右端点和。
2将矩形数量连续加倍数次，并记录绝对误差。
3选择 y = x，区间端点设为 −2 和 2。解释带符号的贡献为何会相互抵消。
4交换区间端点，检查精确积分值和黎曼和的符号。将两个端点设为相等并检查结果。

模型

Δ x = \frac{b - a}{n}, S_{n} = i = 0 \sum n - 1 f (a + (i + c) Δ x) Δ x

等距划分求和：左端点取样时 c = 0，中点取样时 c = 1/2，右端点取样时 c = 1

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

微积分基本定理，其中 F 是一个原函数

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

调换积分端点的顺序会使符号反转

假设

所选函数均为连续函数。精确参考值使用它们的解析原函数计算。
所有矩形的带符号宽度都相等。左端点和右端点分别指每个有向子区间的起点和终点，因此当 b 小于 a 时，它们在图中的作用会互换。
浅色填充表示几何区域，读数则包含函数符号以及积分上下限的顺序。正弦函数使用弧度。

在课堂上试试这个实验

Q1为什么在 [0, 2] 上用左端点采样会低估 x 的平方的积分？
Q2阴影区域的面积不为零，但定积分却为零，这可能吗？请举例说明。
Q3将矩形数量加倍，误差就一定会减半吗？请比较中点采样和端点采样。

常见问题

为什么积分可能为负？

当积分上下限按此顺序排列时，坐标轴下方的值会产生负贡献。调换上下限会改变每一项贡献的符号。定积分度量的是带符号的累积量，不一定是几何面积。

为什么 y = x 的中点和误差为零？

线性函数在每个子区间上的平均值都等于其中点处的函数值。因此，用中点矩形对直线积分可以得到精确结果，浮点舍入误差除外。