이 실험 소개
거의 어떤 모집단에서든 값 몇 개를 뽑아 평균을 계산하고, 이 과정을 계속 반복해 보세요. 모집단 자체가 평평하거나 한쪽으로 치우쳤거나 봉우리가 두 개여도 평균값들은 모여 종 모양의 곡선을 이룹니다. 이것이 중심극한정리이며, 통계학 곳곳에서 정규분포가 나타나는 이유입니다. 모집단을 선택하고 표본 크기를 바꾸면서 표본평균의 히스토그램이 점점 좁고 대칭적인 모양으로 변하는 모습을 살펴보세요.
학습 목표
- 모집단의 분포와 평균의 표본분포를 구분한다
- 중심극한정리와 이 정리가 적용되는 조건을 설명한다
- 표본평균들의 평균이 모집단 평균과 같음을 보인다
- 표본평균들의 표준편차(표준오차)가 σ/√n임을 보인다
- 왜 크게 치우친 모집단에는 더 큰 표본 크기가 필요한지 설명한다
사용 방법
- 1치우친 모집단에서 n = 1로 설정하고 표본 1000개를 추출하세요. 히스토그램은 어떤 모양이며, 그 이유는 무엇인가요?
- 2n = 5로 설정하고 다시 표본 1000개를 추출하세요. 이번에는 모양이 어떠한가요? 여전히 치우쳐 있나요?
- 3n = 30으로 설정해 보세요. 표본평균의 표준편차를 예측값 σ/√n과 비교해 보세요.
- 4n을 5에서 20으로 4배 늘려 보세요. 평균들의 퍼짐은 몇 배 줄어드나요?
- 5n = 2로 두고 봉우리가 두 개인 분포로 바꿔 보세요. 평균들은 어디에 모이나요? n을 늘리며 움푹한 부분이 메워지는 모습을 살펴보세요.
- 6n = 2로 주사위를 사용해 보세요. 어떤 합이 가장 자주 나오나요? 이를 주사위 두 개의 눈의 합과 연결해 보세요.
- 7각 모집단에서 히스토그램이 정규분포처럼 보이기 시작하는 가장 작은 n을 찾아보세요. 가장 큰 n이 필요한 것은 무엇인가요?
모델
가정
- 표본의 각 값은 동일한 모집단에서 서로 독립적으로 추출됩니다(복원추출).
- 오른쪽으로 치우친 모집단은 평균이 2이고 10에서 잘린 지수분포입니다. 봉우리가 두 개인 모집단은 평균이 2.5와 7.5인 두 정규분포를 혼합한 것입니다.
- 난수는 시드가 지정된 생성기에서 추출되므로, ‘지우기’를 누른 뒤에는 매번 같은 표본 시퀀스가 나타납니다.
- 정규 곡선은 표본 수와 막대 너비에 맞게 척도를 조정한 이론적 N(μ, σ²/n)입니다.
수업에서 해 보기
- Q1모집단의 평균은 50이고 표준편차는 12입니다. 크기가 36인 표본들의 표본평균의 평균과 표준편차를 구하세요.
- Q2n = 25일 때 얻는 표준오차를 절반으로 줄이려면 표본 크기는 얼마여야 하나요?
- Q3모집단의 분포 모양을 모르는 경우에도 중심극한정리가 유용한 이유는 무엇인가요?
- Q4중심극한정리는 큰 표본 자체가 정규분포를 따른다는 뜻인가요? 차이를 설명하세요.
- Q5인구가 수백만 명인 한 나라 전체를 대상으로 할 때, 약 1000명을 조사한 여론조사가 유용한 결과를 내는 이유는 무엇인가요?
자주 묻는 질문
n = 30이면 언제나 충분한가요?
이는 흔히 쓰이는 경험칙이지 법칙은 아닙니다. 대칭적인 모집단이라면 훨씬 적은 관측값으로도 충분합니다. 소득처럼 분포가 매우 치우친 모집단에서는 표본평균이 정규분포처럼 보이기까지 훨씬 큰 표본이 필요합니다.
이 정리는 언제 성립하지 않나요?
분산이 유한해야 합니다. 코시 분포처럼 꼬리가 두꺼운 일부 분포에서는 표본이 아무리 커도 표본평균이 단일 관측값보다 더 안정적이지 않습니다.
분산이 n이 아니라 √n에 비례해 줄어드는 이유는 무엇인가요?
개별 값의 오차는 평균을 내면 일부 상쇄됩니다. 서로 독립적인 n개 값의 합의 분산은 n에 비례해 커지므로, 합의 표준편차는 √n에 비례해 커집니다. 이를 n으로 나누면 평균의 표준편차는 σ/√n이 됩니다.