中央極限定理

高中數學對獨立抽取的 n 個樣本求平均值；其離散程度會逐漸接近常態曲線 N(μ, σ²/n)

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關於此實驗

從幾乎任何母體中抽取一些數值，計算它們的平均值，然後一再重複這個過程。即使母體本身是平坦的、偏斜的或有兩個峰，平均值也會逐漸聚集成鐘形曲線。這就是中央極限定理，也是正態分布在統計學中無處不在的原因。選擇一個母體，改變樣本大小，觀察樣本平均值的直方圖如何變得越來越窄、越來越對稱。

學習目標

區分母體分布與平均值的抽樣分布
陳述中央極限定理及其適用條件
證明樣本平均值的平均數等於母體平均數
證明樣本平均值的標準差（標準誤）為 σ/√n
說明為什麼對於高度偏斜的母體，需要更大的樣本大小

使用方法

1對偏斜的母體，設 n = 1，抽取1000個樣本。直方圖是什麼樣子？為什麼？
2將 n 設為 5，再抽取1000個樣本。現在的形狀如何？它仍然偏斜嗎？
3試試 n = 30。將樣本平均數的標準差與預測值 σ/√n 進行比較。
4將 n 從 5 增加到 20，也就是增加為 4 倍。平均數的分散程度縮小了幾倍？
5切換到雙峰分布，並設 n = 2。平均數集中在哪裡？增加 n，觀察低谷逐漸被填平。
6使用骰子並設 n = 2。哪些點數總和最常見？將它與兩顆骰子的點數和連結起來。
7對每個母體，找出直方圖看起來近似常態分布時最小的 n。哪個母體需要最大的 n？

模型

X ˉ = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}

一個樣本的平均數

E (X ˉ) = μ, SD (X ˉ) = \frac{σ}{n}

抽樣分布的中心與分散程度

X ˉ \approx N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) for large n

中央極限定理

Z = \frac{X ˉ - μ}{σ / n}

用於信賴區間和假設檢定的標準化樣本平均數

假設

樣本中的每個值都從同一個母體中獨立抽取（取樣後放回）。
右偏母體是平均數為 2、在 10 截斷的指數分布。雙峰母體是兩個常態分布的混合，平均數分別為 2.5 和 7.5。
隨機抽取使用帶有固定種子的產生器，因此每次按下「清除」後都會出現相同的樣本序列。
常態曲線是理論上的 N(μ, σ²/n)，其尺度會依照樣本數和長條寬度調整。

在課堂上試試這個實驗

Q1某母體的平均數為 50，標準差為 12。求樣本數為 36 時，樣本平均數的平均數和標準差。
Q2若要將 n = 25 時得到的標準誤減半，樣本數必須多大？
Q3即使不知道母體的分布形狀，中央極限定理為什麼仍然有用？
Q4中央極限定理是否表示大樣本本身看起來呈常態分布？請說明兩者的差異。
Q5為什麼調查約 1000 人的民意調查，就能對一個人口數百萬的國家得出有用的結果？

常見問題

n = 30 一定足夠嗎？

這是常見的經驗法則，但不是定律。對於對稱的母體，少得多的數值就足夠了。對於收入等高度偏斜的母體，則需要大得多的樣本，樣本平均數才會呈現常態分布。

定理在什麼情況下會失效？

它要求變異數有限。對於柯西分布等某些厚尾分布，無論樣本多大，樣本平均數都不會比單一觀測值穩定。

為什麼離散程度按 √n 而不是 n 縮小？

單個數值的誤差在取平均時會部分抵消。n 個互相獨立的數值總和的變異數隨 n 增長，因此總和的標準差隨 √n 增長；再除以 n，平均值的標準差就變成 σ/√n。