中心极限定理

高中数学对独立抽取的 n 个样本求均值；其离散程度会逐渐接近正态曲线 N(μ, σ²/n)

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关于此实验

从几乎任何总体中抽取一些数值，计算它们的平均值，然后一次又一次地重复这个过程。即使总体本身是平坦的、偏斜的或有两个峰，平均值也会逐渐聚集成钟形曲线。这就是中心极限定理，也是正态分布在统计学中无处不在的原因。选择一个总体，改变样本量，观察样本均值的直方图如何变得越来越窄、越来越对称。

学习目标

区分总体分布与均值的抽样分布
陈述中心极限定理及其适用条件
证明样本均值的平均值等于总体均值
证明样本均值的标准差（标准误）为 σ/√n
解释为什么对于高度偏斜的总体，需要更大的样本量

使用方法

1对于偏斜的总体，设 n = 1，抽取1000个样本。直方图是什么样的？为什么？
2将 n 设为 5，再抽取1000个样本。现在的形状如何？它仍然是偏斜的吗？
3试试 n = 30。将样本均值的标准差与预测值 σ/√n 进行比较。
4将 n 从 5 增加到 20，即扩大 4 倍。均值的离散程度缩小了多少倍？
5切换到双峰分布，并设 n = 2。均值集中在哪里？增大 n，观察低谷逐渐被填平。
6使用骰子并设 n = 2。哪些点数总和最常见？将其与两个骰子的点数和联系起来。
7对于每个总体，找出直方图看起来近似正态分布时最小的 n。哪个总体需要最大的 n？

模型

X ˉ = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}

一个样本的均值

E (X ˉ) = μ, SD (X ˉ) = \frac{σ}{n}

抽样分布的中心和离散程度

X ˉ \approx N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) for large n

中心极限定理

Z = \frac{X ˉ - μ}{σ / n}

用于置信区间和假设检验的标准化样本均值

假设

样本中的每个值都从同一总体中独立抽取（有放回抽样）。
右偏总体是均值为 2、截断于 10 的指数分布。双峰总体是两个正态分布的混合，均值分别为 2.5 和 7.5。
随机抽取使用带固定种子的生成器，因此每次点击“清除”后都会出现相同的样本序列。
正态曲线是理论上的 N(μ, σ²/n)，其尺度根据样本数和柱宽进行了调整。

在课堂上试试这个实验

Q1某总体的均值为 50，标准差为 12。求样本量为 36 时样本均值的均值和标准差。
Q2要使 n = 25 时得到的标准误减半，样本量必须有多大？
Q3即使不知道总体的分布形状，中心极限定理为什么仍然有用？
Q4中心极限定理是否意味着大样本本身看起来呈正态分布？请解释其中的区别。
Q5为什么调查约 1000 人的民意调查，就能对一个人口数百万的国家得出有用的结果？

常见问题

n = 30 总是足够吗？

这是常见的经验法则，但并非定律。对于对称的总体，少得多的数据就足够了。对于收入等高度偏斜的总体，需要大得多的样本，样本均值才会呈现正态分布。

定理在什么情况下会失效？

它要求方差有限。对于柯西分布等某些重尾分布，无论样本多大，样本均值都不会比单个观测值稳定。

为什么离散程度按 √n 而不是 n 缩小？

对单个值的误差在求平均时会部分抵消。n 个相互独立的值之和的方差随 n 增长，因此总和的标准差随 √n 增长；再除以 n，均值的标准差就变成 σ/√n。