Informazioni su questo esperimento
Estrai una manciata di valori da quasi qualsiasi popolazione, calcolane la media e ripeti il procedimento più e più volte. Le medie si accumulano formando una curva a campana, anche quando la popolazione stessa è uniforme, asimmetrica o presenta due picchi. Questo è il teorema del limite centrale, che spiega perché la distribuzione normale ricorre ovunque in statistica. Scegli una popolazione, modifica la dimensione del campione e osserva come l’istogramma delle medie campionarie diventa più stretto e simmetrico.
Obiettivi di apprendimento
- Distingui la distribuzione di una popolazione dalla distribuzione campionaria della media
- Enuncia il teorema del limite centrale e le condizioni in cui si applica
- Dimostra che la media delle medie campionarie è uguale alla media della popolazione
- Dimostra che la deviazione standard delle medie campionarie (l’errore standard) è σ/√n
- Spiega perché è necessaria una dimensione campionaria maggiore per le popolazioni molto asimmetriche
Come si usa
- 1Con la popolazione asimmetrica e n = 1, estrai 1000 campioni. Che aspetto ha l’istogramma e perché?
- 2Imposta n = 5 ed estrai di nuovo 1000 campioni. Descrivi la forma. È ancora asimmetrica?
- 3Prova con n = 30. Confronta la SD delle medie campionarie con il valore previsto σ/√n.
- 4Quadruplica n, da 5 a 20. Di quale fattore diminuisce la dispersione delle medie?
- 5Passa a due picchi con n = 2. Dove si accumulano le medie? Aumenta n e osserva come si riempie la depressione.
- 6Usa i dadi con n = 2. Quali somme sono più frequenti? Collega il risultato alle somme di due dadi.
- 7Per ogni popolazione, trova il valore minimo di n per cui l’istogramma sembra normale. Quale richiede il valore di n più alto?
Il modello
Ipotesi
- Ogni valore di un campione viene estratto indipendentemente dalla stessa popolazione (campionamento con reinserimento).
- La popolazione asimmetrica segue una distribuzione esponenziale con media 2, troncata a 10. La popolazione a due picchi è una miscela di due curve normali centrate su 2,5 e 7,5.
- Le estrazioni casuali provengono da un generatore con un seme iniziale fisso, quindi dopo aver premuto «Cancella» compare ogni volta la stessa sequenza di campioni.
- La curva normale è la N(μ, σ²/n) teorica, scalata in base al numero di campioni e alla larghezza delle barre.
Provalo in classe
- Q1Una popolazione ha una media di 50 e una deviazione standard di 12. Trova la media e la deviazione standard della media di campioni di dimensione 36.
- Q2Quanto deve essere grande un campione per dimezzare l’errore standard ottenuto con n = 25?
- Q3Perché il teorema del limite centrale è utile anche quando non conosciamo la forma della popolazione?
- Q4Il teorema del limite centrale afferma che un campione grande ha un aspetto normale? Spiega la differenza.
- Q5Perché i sondaggi condotti su circa 1000 persone danno risultati utili per un intero paese di milioni di abitanti?
Domande frequenti
n = 30 è sempre sufficiente?
È una regola pratica comune, ma non una legge. Per le popolazioni simmetriche bastano molti meno valori. Per le popolazioni molto asimmetriche, come quelle dei redditi, sono necessari campioni molto più grandi prima che le medie abbiano un aspetto normale.
Quando viene meno il teorema?
Richiede una varianza finita. Per alcune distribuzioni a code pesanti, come la distribuzione di Cauchy, la media di un campione non è più stabile di un singolo valore, per quanto grande sia il campione.
Perché la dispersion diminuisce con √n e non con n?
Gli errori dei singoli valori si annullano in parte quando si calcola la media. La varianza di una somma di n valori indipendenti cresce in proporzione a n, quindi la deviazione standard della somma cresce in proporzione a √n. Dividendo per n, la media risulta σ/√n.