この実験について
ほぼどんな母集団からでも値をいくつか取り出して平均を計算し、これを何度も繰り返してみましょう。母集団そのものが平坦でも、左右非対称でも、山が二つあっても、平均値は集まって釣鐘型の曲線を描きます。これが中心極限定理であり、統計学のあらゆるところに正規分布が現れる理由です。母集団を選び、標本サイズを変えて、標本平均のヒストグラムがどんどん狭く、対称になっていく様子を観察しましょう。
学習目標
- 母集団の分布と、平均の標本分布を区別する
- 中心極限定理と、それが成り立つ条件を述べる
- 標本平均の平均が母平均に等しいことを示す
- 標本平均の標準偏差（標準誤差）が σ/√n であることを示す
- 大きく歪んだ母集団では、なぜより大きな標本サイズが必要なのかを説明する
使い方
- 1歪んだ母集団を使い、n = 1 に設定して標本を1000個抽出しましょう。ヒストグラムはどのような形になりますか。また、それはなぜですか？
- 2n = 5 に設定し、もう一度1000個の標本を抽出しましょう。今度はどのような形になりますか。まだ歪んでいますか？
- 3n = 30 にしてみましょう。標本平均の標準偏差を、予測値 σ/√n と比べてください。
- 4n を 5 から 20 に4倍にします。平均値のばらつきは何分の1になりますか？
- 5n = 2 のまま、山が2つある分布に切り替えます。平均値はどこに集中しますか？n を増やして、谷が埋まっていく様子を見てみましょう。
- 6n = 2 でサイコロを使います。どの合計が最もよく出ますか？2個のサイコロの目の合計と関連づけて考えてみましょう。
- 7各母集団について、ヒストグラムが正規分布のように見える最小の n を見つけましょう。最も大きな n が必要なのはどれですか？
モデル
前提条件
- 標本の各値は、同じ母集団から独立に抽出されます（復元抽出）。
- 右に歪んだ母集団は、平均が2で10を上限とする指数分布です。山が2つある母集団は、平均が2.5と7.5の2つの正規分布を混ぜたものです。
- 乱数はシード値で初期化された生成器から抽出されるため、［クリア］の後は毎回同じ標本の系列が表示されます。
- 正規曲線は、サンプル数と棒の幅に合わせて尺度を調整した理論上の N(μ, σ²/n) です。
授業で試してみましょう
- Q1母集団の平均が 50、標準偏差が 12 です。サイズ 36 の標本の標本平均の平均と標準偏差を求めなさい。
- Q2n = 25 のときに得られる標準誤差を半分にするには、標本の大きさはいくつ必要ですか？
- Q3母集団の分布の形がわからない場合でも、中心極限定理が役立つのはなぜですか？
- Q4中心極限定理は、大きな標本そのものが正規分布に従うと言っているのでしょうか？違いを説明してください。
- Q5人口が何百万人もいる国全体について、約1000人を対象とした世論調査が有用な結果を出せるのはなぜですか？
よくある質問
n = 30 で常に十分ですか？
これはよく使われる経験則ですが、絶対的な法則ではありません。対称な母集団なら、はるかに少ないデータで十分です。所得のように非常に歪んだ母集団では、標本平均が正規分布に近づくまで、はるかに大きな標本が必要です。
この定理が成り立たないのはどのような場合ですか？
有限の分散が必要です。コーシー分布のような一部の裾の重い分布では、標本がどれほど大きくても、標本平均は単一の値よりも安定しません。
ばらつきが n ではなく √n に比例して小さくなるのはなぜですか？
個々の値の誤差は、平均をとると一部が相殺されます。独立した n 個の値の和の分散は n に比例して大きくなるため、その和の標準偏差は √n に比例して大きくなります。さらに n で割ると、平均の標準偏差は σ/√n になります。