Acerca de este experimento
Toma un puñado de valores de casi cualquier población, calcula su media y repite el proceso una y otra vez. Las medias se acumulan formando una curva con forma de campana, incluso cuando la población en sí es uniforme, asimétrica o tiene dos picos. Este es el teorema central del límite y explica por qué la distribución normal aparece por todas partes en estadística. Elige una población, cambia el tamaño de la muestra y observa cómo el histograma de las medias muestrales se vuelve más estrecho y simétrico.
Objetivos de aprendizaje
- Distingue entre la distribución de una población y la distribución muestral de la media
- Enuncia el teorema central del límite y las condiciones en las que se aplica
- Demuestra que la media de las medias muestrales es igual a la media poblacional
- Demuestra que la desviación estándar de las medias muestrales (el error estándar) es σ/√n
- Explica por qué se necesita un tamaño de muestra mayor para poblaciones muy asimétricas
Cómo usarlo
- 1Con la población asimétrica y n = 1, extrae 1000 muestras. ¿Qué aspecto tiene el histograma y por qué?
- 2Fija n = 5 y vuelve a extraer 1000 muestras. Describe ahora la forma. ¿Sigue siendo asimétrica?
- 3Prueba con n = 30. Compara la SD de las medias muestrales con el valor predicho σ/√n.
- 4Cuadruplica n, de 5 a 20. ¿Por qué factor disminuye la dispersión de las medias?
- 5Cambia a dos picos con n = 2. ¿Dónde se acumulan las medias? Aumenta n y observa cómo se rellena el valle.
- 6Usa dados con n = 2. ¿Qué sumas son las más frecuentes? Relaciónalo con las sumas de dos dados.
- 7Para cada población, encuentra el menor n con el que el histograma parece normal. ¿Cuál necesita el mayor n?
El modelo
Supuestos
- Cada valor de una muestra se extrae de forma independiente de la misma población (muestreo con reemplazo).
- La población asimétrica sigue una distribución exponencial con media 2, truncada en 10. La población con dos picos es una mezcla de dos curvas normales centradas en 2,5 y 7,5.
- Las extracciones aleatorias proceden de un generador con una semilla fija, por lo que, después de pulsar «Borrar», aparece la misma secuencia de muestras cada vez.
- La curva normal es la N(μ, σ²/n) teórica, ajustada al número de muestras y al ancho de las barras.
Pruébalo en clase
- Q1Una población tiene una media de 50 y una desviación estándar de 12. Halle la media y la desviación estándar de la media de muestras de tamaño 36.
- Q2¿Qué tamaño debe tener una muestra para reducir a la mitad el error estándar obtenido con n = 25?
- Q3¿Por qué es útil el teorema central del límite incluso cuando no conocemos la forma de la población?
- Q4¿Dice el teorema central del límite que una muestra grande tiene aspecto de distribución normal? Explique la diferencia.
- Q5¿Por qué las encuestas de unas 1000 personas dan resultados útiles para todo un país de millones de habitantes?
Preguntas frecuentes
¿n = 30 siempre es suficiente?
Es una regla práctica común, pero no una ley. Para poblaciones simétricas bastan muchos menos valores. Para poblaciones muy asimétricas, como las de ingresos, se necesitan muestras mucho mayores para que las medias tengan aspecto de distribución normal.
¿Cuándo falla el teorema?
Requiere una varianza finita. Para algunas distribuciones de colas pesadas, como la distribución de Cauchy, la media de una muestra no es más estable que un valor individual, por grande que sea la muestra.
¿Por qué la dispersión disminuye con √n y no con n?
Los errores de los valores individuales se cancelan parcialmente al calcular el promedio. La varianza de una suma de n valores independientes crece proporcionalmente a n, por lo que la desviación estándar de la suma crece proporcionalmente a √n. Al dividir entre n, la media queda con σ/√n.