Simulation de Théorème central limite

À propos de cette expérience

Prélevez une poignée de valeurs dans presque n’importe quelle population, calculez leur moyenne et recommencez encore et encore. Les moyennes s’accumulent pour former une courbe en cloche, même lorsque la population elle-même est uniforme, asymétrique ou présente deux pics. C’est le théorème central limite, qui explique pourquoi la loi normale apparaît partout en statistique. Choisissez une population, modifiez la taille de l’échantillon et observez l’histogramme des moyennes d’échantillons devenir plus étroit et plus symétrique.

Objectifs pédagogiques

Distinguez la distribution d’une population de la distribution d’échantillonnage de la moyenne
Énoncez le théorème central limite et les conditions dans lesquelles il s’applique
Montrez que la moyenne des moyennes d’échantillons est égale à la moyenne de la population
Montrez que l’écart-type des moyennes d’échantillons (l’erreur standard) est σ/√n
Expliquez pourquoi une taille d’échantillon plus importante est nécessaire pour les populations très asymétriques

Comment l’utiliser

1Avec la population asymétrique et n = 1, tirez 1000 échantillons. À quoi ressemble l’histogramme, et pourquoi ?
2Fixez n = 5 et tirez à nouveau 1000 échantillons. Décrivez la forme obtenue. Est-elle toujours asymétrique ?
3Essaie avec n = 30. Compare l’écart-type des moyennes d’échantillons à la valeur prédite σ/√n.
4Multiplie n par quatre, de 5 à 20. Par quel facteur la dispersion des moyennes diminue-t-elle ?
5Passe à deux pics avec n = 2. Où les moyennes s’accumulent-elles ? Augmente n et observe le creux se combler.
6Utilise des dés avec n = 2. Quelles sommes sont les plus fréquentes ? Fais le lien avec les sommes obtenues en lançant deux dés.
7Pour chaque population, trouve la plus petite valeur de n pour laquelle l’histogramme semble normal. Laquelle nécessite la plus grande valeur de n ?

Le modèle

X ˉ = \frac{X _{1} + X _{2} + \dots + X _{n}}{n}

Moyenne d’un échantillon

E (X ˉ) = μ, SD (X ˉ) = \frac{σ}{n}

Centre et dispersion de la distribution d’échantillonnage

X ˉ \approx N (μ, \frac{σ ^{2}}{n}) for large n

Théorème central limite

Z = \frac{X ˉ - μ}{σ / n}

Moyenne d’échantillon standardisée, utilisée pour les intervalles de confiance et les tests

Hypothèses

Chaque valeur d’un échantillon est tirée indépendamment de la même population (échantillonnage avec remise).
La population asymétrique suit une loi exponentielle de moyenne 2, tronquée à 10. La population à deux pics est un mélange de deux courbes normales centrées en 2,5 et 7,5.
Les tirages aléatoires proviennent d’un générateur initialisé avec une graine fixe ; après avoir cliqué sur « Effacer », la même séquence d’échantillons apparaît donc à chaque fois.
La courbe normale est la loi théorique N(μ, σ²/n), mise à l’échelle en fonction du nombre d’échantillons et de la largeur des barres.

À essayer en classe

Q1Une population a une moyenne de 50 et un écart-type de 12. Déterminez la moyenne et l’écart-type de la moyenne d’échantillons de taille 36.
Q2Quelle doit être la taille d’un échantillon pour diviser par deux l’erreur standard obtenue avec n = 25 ?
Q3Pourquoi le théorème central limite est-il utile même lorsque nous ne connaissons pas la forme de la population ?
Q4Le théorème central limite affirme-t-il qu’un grand échantillon ressemble à une distribution normale ? Expliquez la différence.
Q5Pourquoi les sondages réalisés auprès d’environ 1000 personnes donnent-ils des résultats utiles pour un pays entier comptant des millions d’habitants ?

Foire aux questions

n = 30 est-il toujours suffisant ?

C’est une règle empirique courante, mais pas une loi. Pour les populations symétriques, beaucoup moins de valeurs suffisent. Pour les populations très asymétriques, comme celles des revenus, des échantillons bien plus grands sont nécessaires pour que les moyennes ressemblent à une distribution normale.

Dans quels cas le théorème échoue-t-il ?

Il exige une variance finie. Pour certaines distributions à queues lourdes, comme la loi de Cauchy, la moyenne d’un échantillon n’est pas plus stable qu’une valeur isolée, quelle que soit la taille de l’échantillon.

Pourquoi la dispersion diminue-t-elle avec √n et non avec n ?

Les erreurs des valeurs individuelles s’annulent en partie lorsqu’on calcule la moyenne. La variance d’une somme de n valeurs indépendantes augmente proportionnellement à n ; l’écart-type de la somme augmente donc proportionnellement à √n. En divisant par n, on obtient σ/√n pour la moyenne.