Über dieses Experiment
Ziehe eine Handvoll Werte aus einer beliebigen Grundgesamtheit, berechne ihren Mittelwert und wiederhole das immer wieder. Die Mittelwerte häufen sich zu einer glockenförmigen Kurve, selbst wenn die Grundgesamtheit selbst gleichmäßig verteilt, schief oder zweigipflig ist. Das ist der zentrale Grenzwertsatz und der Grund dafür, dass die Normalverteilung in der Statistik überall auftaucht. Wähle eine Grundgesamtheit, ändere den Stichprobenumfang und beobachte, wie das Histogramm der Stichprobenmittelwerte schmaler und symmetrischer wird.
Lernziele
- Unterscheide zwischen der Verteilung einer Grundgesamtheit und der Stichprobenverteilung des Mittelwerts
- Formuliere den zentralen Grenzwertsatz und die Bedingungen, unter denen er gilt
- Zeige, dass der Mittelwert der Stichprobenmittelwerte dem Mittelwert der Grundgesamtheit entspricht
- Zeige, dass die Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte (der Standardfehler) σ/√n beträgt
- Erkläre, warum bei stark schiefen Grundgesamtheiten ein größerer Stichprobenumfang erforderlich ist
Anleitung
- 1Ziehe bei der schiefen Grundgesamtheit und n = 1 1000 Stichproben. Wie sieht das Histogramm aus und warum?
- 2Setze n = 5 und ziehe erneut 1000 Stichproben. Beschreibe die Form. Ist sie immer noch schief?
- 3Versuche es mit n = 30. Vergleiche die SD der Stichprobenmittelwerte mit dem vorhergesagten σ/√n.
- 4Vervierfache n von 5 auf 20. Um welchen Faktor nimmt die Streuung der Mittelwerte ab?
- 5Wechsle zu zwei Gipfeln mit n = 2. Wo häufen sich die Mittelwerte? Erhöhe n und beobachte, wie sich die Delle füllt.
- 6Verwende Würfel mit n = 2. Welche Summen kommen am häufigsten vor? Stelle einen Zusammenhang zu den Summen zweier Würfel her.
- 7Finde für jede Population das kleinste n, bei dem das Histogramm normalverteilt aussieht. Bei welcher ist das größte n erforderlich?
Das Modell
Annahmen
- Jeder Wert einer Stichprobe wird unabhängig aus derselben Population gezogen (Stichprobenziehung mit Zurücklegen).
- Die schiefe Population ist eine Exponentialverteilung mit einem Mittelwert von 2, die bei 10 abgeschnitten wird. Die zweigipflige Population ist eine Mischung aus zwei Normalverteilungen mit Mittelwerten von 2,5 und 7,5.
- Zufallsziehungen stammen aus einem Generator mit festem Startwert. Daher erscheint nach dem Löschen jedes Mal dieselbe Folge von Stichproben.
- Die Normalverteilungskurve ist die theoretische N(μ, σ²/n), skaliert auf die Anzahl der Stichproben und die Balkenbreite.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1Eine Grundgesamtheit hat einen Mittelwert von 50 und eine Standardabweichung von 12. Bestimmen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung des Mittelwerts von Stichproben der Größe 36.
- Q2Wie groß muss eine Stichprobe sein, um den Standardfehler im Vergleich zu n = 25 zu halbieren?
- Q3Warum ist der zentrale Grenzwertsatz nützlich, selbst wenn wir die Form der Grundgesamtheit nicht kennen?
- Q4Besagt der zentrale Grenzwertsatz, dass eine große Stichprobe normalverteilt aussieht? Erklären Sie den Unterschied.
- Q5Warum liefern Umfragen mit etwa 1000 Personen brauchbare Ergebnisse für ein ganzes Land mit Millionen Einwohnern?
Häufig gestellte Fragen
Sind n = 30 immer ausreichend?
Das ist eine gängige Faustregel, aber kein Gesetz. Bei symmetrischen Grundgesamtheiten reichen deutlich weniger Werte aus. Bei stark schiefen Grundgesamtheiten, etwa bei Einkommen, sind viel größere Stichproben nötig, bevor die Mittelwerte normalverteilt aussehen.
Wann versagt der Satz?
Er setzt eine endliche Varianz voraus. Bei manchen Verteilungen mit schweren Rändern, etwa der Cauchy-Verteilung, ist der Mittelwert einer Stichprobe nicht stabiler als ein einzelner Wert, unabhängig davon, wie groß die Stichprobe ist.
Warum nimmt die Streuung mit √n und nicht mit n ab?
Fehler in einzelnen Werten gleichen sich beim Mitteln teilweise aus. Die Varianz einer Summe aus n unabhängigen Werten wächst proportional zu n, daher wächst die Standardabweichung der Summe proportional zu √n. Teilt man durch n, ergibt sich für den Mittelwert σ/√n.