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Raumgeometrie

OberschuleMathematikAnalytische Volumina, Oberflächen und parallele Schnitte einer quadratischen Pyramide, eines geraden Kreiskegels und einer Kugel

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Über dieses Experiment

Vermessen Sie einen Körper mit einer verschiebbaren Schnittebene. Vergleichen Sie die Querschnittsfläche, das unterhalb der Ebene angesammelte Volumen und das passende Prisma oder den passenden Zylinder, der den Körper begrenzt.

Lernziele

  • Verknüpfen Sie Abmessungen mit exakten Volumen- und Oberflächenformeln.
  • Setzen Sie die Querschnittsfläche zum angesammelten Volumen in Beziehung.
  • Vergleichen Sie die Volumina von Kegel, Pyramide und Kugel mit denen ihrer jeweiligen Referenzkörper.

Anleitung

  1. 1Verschieben Sie den Schnitt von der Grundfläche bis zur Spitze einer quadratischen Pyramide.
  2. 2Vergleichen Sie die Fläche auf halber Höhe mit der Grundfläche.
  3. 3Untersuchen Sie das unterhalb der halben Höhe angesammelte Volumen, das nicht der Hälfte des Gesamtvolumens entspricht.
  4. 4Wechseln Sie zu einer Kugel und vergleichen Sie sie mit dem passenden Zylinder.

Das Modell

Pyramiden und Kegel haben ein Drittel des Volumens des passenden Prismas beziehungsweise Zylinders.
Die Höhe einer Kugel ist doppelt so groß wie ihr Radius.
Die Querschnittsfläche ist die Ableitung des akkumulierten Volumens.

Annahmen

  • Der Kegel ist ein gerader Kreiskegel und die Pyramide eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Alle Längen werden in beliebigen Koordinateneinheiten angegeben.
  • Die Querschnitte verlaufen horizontal und parallel zur Grundfläche. Kugelquerschnitte werden vom tiefsten Punkt aus nach oben gemessen.
  • Die transparente Referenz ist das ungeschnittene umschließende Prisma oder der ungeschnittene umschließende Zylinder. An einem punktförmigen Querschnitt beträgt die Fläche null.

Im Unterricht ausprobieren

  1. Q1Warum beträgt die Fläche eines Kegelquerschnitts nur ein Viertel der Grundfläche, wenn seine Höhe halbiert wird?
  2. Q2Warum nimmt eine Kugel zwei Drittel des Volumens des passenden Zylinders ein?

Häufig gestellte Fragen

Ist das Flächenprofil eine numerische Näherung?

Die Anzeigen für Querschnittsfläche und akkumuliertes Volumen verwenden analytische Formeln. Die dargestellte Kurve ist eine abgetastete Visualisierung dieser Formeln.

Verändert eine Kamerabewegung die gemessene Oberfläche?

Nein. Die Kamerabewegung verändert nur die Perspektive; für die Flächen werden die zugrunde liegenden Abmessungen verwendet.