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Géométrie dans l’espace

LycéeMathématiquesVolumes, aires de surface et sections parallèles analytiques d’une pyramide à base carrée, d’un cône circulaire droit et d’une sphère

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À propos de cette expérience

Mesurez un solide à l’aide d’un plan de coupe coulissant. Comparez l’aire de la section transversale, le volume accumulé sous le plan et le prisme ou le cylindre correspondant qui délimite le solide.

Objectifs pédagogiques

  • Reliez les dimensions aux formules exactes du volume et de l’aire de surface.
  • Reliez l’aire de la section transversale au volume accumulé.
  • Comparez les volumes du cône, de la pyramide et de la sphère à ceux de leurs solides de référence correspondants.

Comment l’utiliser

  1. 1Déplacez la section de la base au sommet d’une pyramide à base carrée.
  2. 2Comparez l’aire à mi-hauteur à l’aire de la base.
  3. 3Examinez le volume accumulé sous la mi-hauteur, qui ne représente pas la moitié du volume total.
  4. 4Passez à une sphère et comparez-la au cylindre correspondant.

Le modèle

Le volume d’une pyramide ou d’un cône représente le tiers de celui du prisme ou du cylindre correspondant.
La hauteur d’une sphère est égale au double de son rayon.
L’aire de la section est la dérivée du volume cumulé.

Hypothèses

  • Le cône est un cône circulaire droit et la pyramide est droite, à base carrée. Toutes les longueurs sont exprimées en unités de coordonnées arbitraires.
  • Les sections sont horizontales et parallèles à la base. Les sections de la sphère sont mesurées vers le haut à partir du point le plus bas.
  • La référence transparente est le prisme ou le cylindre englobant non découpé. À une section ponctuelle, l’aire est nulle.

À essayer en classe

  1. Q1Pourquoi diviser par deux la hauteur d’une section de cône réduit-il l’aire au quart de celle de la base ?
  2. Q2Pourquoi une sphère occupe-t-elle les deux tiers du volume du cylindre correspondant ?

Foire aux questions

Le profil de l’aire est-il une approximation numérique ?

Les valeurs affichées pour l’aire de la section et le volume cumulé utilisent des formules analytiques. La courbe tracée est un rendu échantillonné de ces formules.

Le déplacement de la caméra modifie-t-il l’aire de surface mesurée ?

Non. Le mouvement de la caméra ne change que la perspective ; les aires sont calculées à partir des dimensions sous-jacentes.