向量场、散度与旋度

大学数学精确线性三维速度场，可解析计算轨迹、散度、旋度、球面通量和平面环流

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关于此实验

在结合旋转、平面膨胀和轴向拉伸的流场中释放示踪粒子。比较局部矢量箭头与物质轨迹，再将散度与通量、旋度与环流联系起来。

学习目标

区分欧拉速度采样与移动的物质示踪粒子。
计算线性场的散度和旋度。
将散度与物质体积变化联系起来，将旋度与环路环流联系起来。

使用方法

1运行不可压缩的涡旋，并观察体积不增长时的轨迹。
2反转旋转方向，并比较旋度和环流的符号。
3添加平面膨胀或轴向拉伸，并测量穿过球面的向外通量。
4改变通量球的半径，并检验通量按半径的三次方缩放、环流按半径的平方缩放。

模型

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

除角速度的约定外，这些参数的单位都是时间的倒数。

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

旋转会产生旋度，但不会产生散度。

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

通量沿穿过球面的向外方向；从正 z 方向观察时，环流在 x-y 平面内沿逆时针方向。

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

微小物质体积比可由精确的线性流动推导得出。

假设

这是一个指定的光滑速度场，不是压力或流体力求解器。轨迹是通过矩阵指数得到的精确解。
粒子会被有限的观测窗口裁切，不会发生反射，也不会受到人为施加的壁面力。高亮轨迹在粒子首次离开窗口时结束。
球面是测量面，不是容器。环流测量环是一个位于 x-y 平面的圆，其半径与所选球的半径相同。
为便于阅读，箭头长度设有上限。散度、旋度、通量和环流使用原始向量场的值。

在课堂上试试这个实验

Q1一个向量场能否具有非零旋度和零散度？
Q2为什么测量半径加倍时，球面通量变为八倍，而环流变为四倍？

常见问题

示踪粒子离开盒子后会撞上看不见的墙吗？

不会。解析轨迹会延伸到观测窗口之外；只有显示内容会被裁切。

物质体积比指固定球体内部的体积吗？

不是。它追踪的是一个微小的移动物质元。固定球面是用于通量积分的独立曲面。