向量場、散度與旋度

大學數學精確線性三維速度場，可解析計算軌跡、散度、旋度、球面通量和平面環流

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關於此實驗

在結合旋轉、平面膨脹與軸向伸展的流場中釋放示蹤粒子。比較局部向量箭頭與物質軌跡，再將散度與通量、旋度與環流連結起來。

學習目標

區分歐拉速度取樣與移動的物質示蹤粒子。
計算線性場的散度和旋度。
將散度與物質體積變化連結，將旋度與環路環流連結。

使用方法

1執行不可壓縮的渦旋，並觀察體積不增長時的軌跡。
2反轉旋轉方向，並比較旋度和環流的符號。
3加入平面膨脹或軸向伸展，並測量穿過球面的向外通量。
4改變通量球的半徑，並檢驗通量按半徑的三次方縮放、環流按半徑的平方縮放。

模型

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

除角速度的慣例外，這些參數的單位都是時間的倒數。

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

旋轉會產生旋度，但不會產生散度。

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

通量沿穿過球面的向外方向；從正 z 方向觀看時，環流在 x-y 平面內沿逆時針方向。

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

微小物質體積比可由精確的線性流動推導得出。

假設

這是一個指定的平滑速度場，不是壓力或流體力求解器。軌跡是透過矩陣指數得到的精確解。
粒子會被有限的觀測視窗裁切，不會反射，也不會受到人為施加的壁面力。醒目標示的軌跡會在粒子首次離開視窗時結束。
球面是測量面，不是容器。環流測量環是位於 x-y 平面的圓，其半徑與所選球的半徑相同。
為了便於閱讀，箭頭長度設有上限。散度、旋度、通量和環流使用原始向量場的值。

在課堂上試試這個實驗

Q1一個向量場能否具有非零旋度和零散度？
Q2為什麼測量半徑加倍時，球面通量變為八倍，而環流變為四倍？

常見問題

示蹤粒子離開盒子後會撞上看不見的牆嗎？

不會。解析軌跡會延伸到觀測視窗之外；只有顯示內容會被裁切。

物質體積比指固定球體內部的體積嗎？

不是。它追蹤的是一個微小的移動物質元。固定球面是用於通量積分的獨立曲面。