Campi vettoriali, divergenza e rotore

Informazioni su questo esperimento

Rilascia i traccianti in un campo che combina rotazione, dilatazione piana e stiramento assiale. Confronta le frecce vettoriali locali con le traiettorie materiali, quindi collega la divergenza al flusso e il rotore alla circolazione.

Obiettivi di apprendimento

Distinguere un campione di velocità euleriano da un tracciante materiale in movimento.
Calcolare la divergenza e il rotore di un campo lineare.
Mettere in relazione la divergenza con la variazione di volume materiale e il rotore con la circolazione lungo un circuito.

Come si usa

1Avviare un vortice incomprimibile e osservare le traiettorie senza aumento di volume.
2Invertire la rotazione e confrontare il segno del rotore e della circolazione.
3Aggiungere una dilatazione piana o uno stiramento assiale e misurare il flusso uscente attraverso una sfera.
4Cambiare il raggio della sfera di flusso e verificare la scalatura cubica del flusso rispetto alla scalatura quadratica della circolazione.

Il modello

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

I parametri hanno unità di misura di tempo inverso, a eccezione della convenzione relativa alla velocità angolare.

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

La rotazione contribuisce al rotore, ma non alla divergenza.

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

Il flusso è diretto verso l’esterno attraverso la sfera; la circuitazione è in senso antiorario nel piano x-y, vista dalla direzione z positiva.

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

Il rapporto infinitesimale dei volumi materiali deriva dal flusso lineare esatto.

Ipotesi

Questo è un campo di velocità regolare prescritto, non un risolutore di pressione o delle forze del fluido. Le traiettorie sono la soluzione esatta tramite esponenziale di matrice.
Le particelle vengono ritagliate al bordo della finestra di osservazione finita, senza riflessione né forze di parete artificiali. Il percorso evidenziato termina alla prima uscita.
La sfera è una superficie di misurazione, non un contenitore. Il circuito di circolazione è un cerchio nel piano x-y con lo stesso raggio selezionato.
La lunghezza delle frecce è limitata per facilitarne la lettura. Divergenza, rotore, flusso e circuitazione utilizzano i valori originali del campo.

Provalo in classe

Q1Un campo può avere un rotore diverso da zero e una divergenza nulla?
Q2Perché, raddoppiando il raggio di misurazione, il flusso attraverso la sfera aumenta di otto volte, mentre la circuitazione aumenta di quattro?

Domande frequenti

Un tracciante che esce dalla scatola urta una parete invisibile?

No. La traiettoria analitica continua al di fuori della finestra di osservazione; viene ritagliata solo la sua visualizzazione.

Il rapporto dei volumi materiali è il volume all’interno della sfera fissa?

No. Segue un piccolo elemento materiale in movimento. La sfera fissa è una superficie indipendente utilizzata per l’integrale di flusso.