Champs de vecteurs, divergence et rotationnel

À propos de cette expérience

Libérez des traceurs dans un champ qui combine rotation, dilatation plane et étirement axial. Comparez les flèches vectorielles locales aux trajectoires matérielles, puis établissez le lien entre la divergence et le flux, ainsi qu’entre le rotationnel et la circulation.

Objectifs pédagogiques

Distinguez un échantillon de vitesse eulérien d’un traceur matériel en mouvement.
Calculez la divergence et le rotationnel d’un champ linéaire.
Reliez la divergence à la variation de volume matériel et le rotationnel à la circulation le long d’une boucle.

Comment l’utiliser

1Lancez un tourbillon incompressible et observez les trajectoires sans augmentation de volume.
2Inversez la rotation et comparez le signe du rotationnel et celui de la circulation.
3Ajoutez une dilatation plane ou un étirement axial et mesurez le flux sortant à travers une sphère.
4Modifiez le rayon de la sphère de flux et vérifiez la mise à l’échelle cubique du flux par rapport à la mise à l’échelle quadratique de la circulation.

Le modèle

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

Les paramètres ont des unités d’inverse du temps, à l’exception de la convention relative à la vitesse angulaire.

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

La rotation contribue au rotationnel, mais pas à la divergence.

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

Le flux est orienté vers l’extérieur à travers la sphère ; la circulation est dans le sens antihoraire dans le plan x-y, vue depuis la direction z positive.

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

Le rapport infinitésimal des volumes matériels découle de l’écoulement linéaire exact.

Hypothèses

Il s’agit d’un champ de vitesse lisse prescrit, et non d’un solveur de pression ou de forces fluides. Les trajectoires correspondent à la solution exacte par exponentielle de matrice.
Les particules sont coupées à la limite de la fenêtre d’observation finie, sans réflexion ni forces de paroi artificielles. La trajectoire mise en évidence s’arrête à sa première sortie.
La sphère est une surface de mesure, pas un récipient. La boucle de circulation est un cercle dans le plan x-y ayant le même rayon sélectionné.
La longueur des flèches est limitée pour faciliter la lecture. La divergence, le rotationnel, le flux et la circulation utilisent les valeurs originales du champ.

À essayer en classe

Q1Un champ peut-il avoir un rotationnel non nul et une divergence nulle ?
Q2Pourquoi le flux à travers la sphère est-il multiplié par huit lorsque le rayon de mesure double, alors que la circulation est multipliée par quatre ?

Foire aux questions

Un traceur qui sort de la boîte heurte-t-il un mur invisible ?

Non. La trajectoire analytique se poursuit au-delà de la fenêtre d’observation ; seule son affichage est tronqué.

Le rapport des volumes matériels correspond-il au volume à l’intérieur de la sphère fixe ?

Non. Il suit un petit élément matériel en mouvement. La sphère fixe est une surface indépendante utilisée pour l’intégrale de flux.