Vektorfelder, Divergenz und Rotation

Über dieses Experiment

Setze Tracer in einem Feld frei, das Rotation, ebene Dilatation und axiale Dehnung kombiniert. Vergleiche die lokalen Vektorpfeile mit den Materialtrajektorien und stelle dann den Zusammenhang zwischen Divergenz und Fluss sowie zwischen Rotation und Zirkulation her.

Lernziele

Unterscheiden Sie eine Euler’sche Geschwindigkeitsstichprobe von einem mitbewegten materiellen Tracer.
Berechnen Sie die Divergenz und die Rotation eines linearen Feldes.
Setzen Sie die Divergenz mit der Volumenänderung eines Materialelements und die Rotation mit der Zirkulation entlang einer geschlossenen Kurve in Beziehung.

Anleitung

1Führen Sie eine inkompressible Wirbelströmung aus und beobachten Sie die Trajektorien ohne Volumenzunahme.
2Kehren Sie die Drehrichtung um und vergleichen Sie die Vorzeichen von Rotation und Zirkulation.
3Fügen Sie eine ebene Dilatation oder axiale Streckung hinzu und messen Sie den nach außen gerichteten Fluss durch eine Kugel.
4Ändern Sie den Radius der Flusskugel und prüfen Sie die kubische Skalierung des Flusses im Vergleich zur quadratischen Skalierung der Zirkulation.

Das Modell

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

Die Parameter haben die Einheit inverse Zeit, abgesehen von der Konvention für die Winkelgeschwindigkeit.

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

Die Rotation trägt zur Rotation bei, aber nicht zur Divergenz.

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

Der Fluss verläuft nach außen durch die Kugel; die Zirkulation verläuft gegen den Uhrzeigersinn in der x-y-Ebene, von der positiven z-Richtung aus gesehen.

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

Das Verhältnis der infinitesimalen Materialvolumina ergibt sich aus der exakten linearen Strömung.

Annahmen

Dies ist ein vorgegebenes, glattes Geschwindigkeitsfeld, kein Druck- oder Fluidkraftlöser. Die Trajektorien sind die exakte Lösung mittels Matrixexponential.
Partikel werden am Rand des endlichen Beobachtungsfensters abgeschnitten, ohne reflektiert zu werden oder künstlichen Wandkräften ausgesetzt zu sein. Die hervorgehobene Bahn endet beim ersten Austritt.
Die Kugel ist eine Messfläche, kein Behälter. Die Zirkulationskurve ist ein Kreis in der x-y-Ebene mit demselben gewählten Radius.
Pfeillängen werden zur besseren Lesbarkeit begrenzt. Divergenz, Rotation, Fluss und Zirkulation verwenden die ursprünglichen Feldwerte.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Kann ein Feld eine von null verschiedene Rotation und eine Divergenz von null haben?
Q2Warum verachtfacht sich bei einer Verdopplung des Messradius der Fluss durch die Kugel, während sich die Zirkulation vervierfacht?

Häufig gestellte Fragen

Trifft ein Tracer, der die Box verlässt, auf eine unsichtbare Wand?

Nein. Die analytische Trajektorie setzt sich außerhalb des Beobachtungsfensters fort; lediglich ihre Darstellung wird abgeschnitten.

Ist das Verhältnis der Materialvolumina das Volumen innerhalb der festen Kugel?

Nein. Es bezieht sich auf ein kleines, bewegtes Materialelement. Die feste Kugel ist eine unabhängige Oberfläche, die für das Flächenintegral des Flusses verwendet wird.