ベクトル場、発散、回転

大学数学軌跡、発散、回転、球面フラックス、平面循環を解析的に求める、厳密な線形三次元速度場

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この実験について

回転、平面膨張、軸方向の伸縮を組み合わせた場にトレーサーを放出します。局所的なベクトルと物質の軌跡を比較し、発散とフラックス、回転と循環の関係を確認します。

学習目標

オイラー的な速度サンプルと、移動する物質トレーサーを区別します。
線形場の発散と回転を計算します。
発散を物質の体積変化に、回転をループの循環に関連付けます。

使い方

1非圧縮性の渦を実行し、体積が増加しない状態で軌跡を観察します。
2回転の向きを反転させ、回転と循環の符号を比較します。
3平面内の膨張または軸方向の伸長を加え、球面を通る外向きの流束を測定します。
4流束を測定する球の半径を変え、流束が半径の3乗に比例し、循環が半径の2乗に比例することを確かめます。

モデル

v = (a x - ω y, ω x + a y, b z)

角速度の慣例を除き、パラメーターの単位は時間の逆数です。

\nabla \cdot v = 2 a + b, \nabla \times v = (0, 0, 2 ω)

回転は回転を生みますが、発散は生みません。

Φ = (2 a + b) \frac{4 π R ^{3}}{3}, Γ = 2 ω π R^{2}

フラックスは球面を通って外向きに流れます。循環は、正のz方向から見たxy平面で反時計回りです。

V (t) / V (0) = e^{(2 a + b) t}

微小な物質体積の比は、厳密な線形流れから導かれます。

前提条件

これは指定された滑らかな速度場であり、圧力や流体力を解くソルバーではありません。軌跡は行列指数関数による厳密解です。
粒子は反射や人工的な壁力を受けず、有限の観測範囲によって切り取られます。強調表示された軌跡は、粒子が初めて範囲外に出た地点で終わります。
球は測定面であり、容器ではありません。循環を測るループはxy平面内の円で、選択した球と同じ半径です。
読みやすさのため、矢印の長さには上限があります。発散、回転、フラックス、循環は元のベクトル場の値を使います。

授業で試してみましょう

Q1発散がゼロで、回転がゼロでないベクトル場はありますか？
Q2測定半径を2倍にすると、球面を通るフラックスは8倍、循環は4倍になるのはなぜですか？

よくある質問

トレーサーがボックスから出ると、見えない壁にぶつかりますか？

いいえ。解析的な軌道は観測ウィンドウの外まで続き、表示だけが切り取られます。

物質体積比は、固定された球の内部の体積ですか？

いいえ。小さな移動する物質要素を追跡したものです。固定された球は、フラックス積分に使う独立した面です。