初中适用的数学模拟：一次函数

关于此实验

一次函数的图像是一条直线，它的所有特征由两个数决定：斜率表示直线有多陡，y截距表示直线与纵轴的交点位置。拖动点或移动滑块，观察方程、斜率三角形和值表如何同步变化。切换记号形式后，可以匹配你所在国家使用的字母，例如 y = mx + b、y = mx + c、y = ax + b 或 y = kx + b。

学习目标

根据直线的方程确定斜率和 y 截距
利用直线上的任意两点，将斜率计算为纵向变化量除以横向变化量
描述斜率的正负和大小如何改变图像
将数值表中的固定差值与斜率联系起来

使用方法

1上下拖动黑点。方程中的哪一部分会改变？直线会发生什么变化？
2拖动蓝色点，让直线变得更陡、更平缓，然后向下倾斜。每次都读出上升量和水平移动量。
3打开数值表。每当 x 增加 1，y 会变化多少？
4将斜率设为 0，然后设为负值，并用文字描述这条直线。

模型

y = m x + b

斜截式。其他国家也写作 y = mx + c、y = ax + b 或 y = kx + b。

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

任意两点之间上升量与水平移动量之比所表示的斜率

x_{0} = - \frac{b}{m}

当 m 不为零时，直线与 x 轴的交点

tan α = m

斜率等于直线与 x 轴所成角的正切值。

假设

图像根据方程精确绘制。拖动的点会以半个单位为间隔吸附，让数值更容易读取。
像 x = 3 这样的竖直直线不是 x 的函数，也不能写成这种形式，因此斜率限制在 -5 到 5 之间。

在课堂上试试这个实验

Q1一条直线的斜率为 2，且经过 (0, -3)。写出它的方程，并在图像上验证。
Q2两条直线的斜率相同，但截距不同。你注意到了什么？
Q3为什么无论选直线上的哪两个点，算出的斜率都相同？
Q4出租车收费包括固定费用和每公里的费用。哪个数是斜率，哪个数是截距？

常见问题

斜率为负数是什么意思？

这条直线从左向右下降：x 增大时，y 减小。去掉符号后，数值越大，下降得越陡。

为什么不同国家使用不同的字母？

各地的概念都相同。美国和德国通常写作 y = mx + b，英国写作 y = mx + c，法国、日本和韩国使用 y = ax + b，中国使用 y = kx + b。

y = 3 是一次函数吗？

是的。它是一条斜率为 0、y 轴截距为 3 的水平直线。无论 x 取什么值，y 都相同。