关于此实验
沿椭圆考察目标函数，并将其梯度与经过缩放的约束梯度进行比较。求出约束条件下的全局极值，并测试所有约束点均为驻点的退化情形。
学习目标
- 解读正则约束及其法向梯度。
- 检验拉格朗日乘子驻点方程。
- 在确定全局极值之前，比较所有驻点候选。
使用方法
- 1移动椭圆参数，并记录目标函数残差和驻点条件残差。
- 2求出约束最小值，并检查定义域内重合的梯度箭头。
- 3将其与约束最大值及其乘子进行比较。
- 4先使用线性目标函数，再令目标函数在圆上为常数，以检查约束上完全处于驻定状态的情况。
模型
假设
- 在紧致椭圆上，目标函数由一般二次项和线性项组成。报告的全局极值从其驻点候选中选出。
- 根隔离和驻点检查使用浮点容差。目标函数沿椭圆为常数的情况会单独检测。
- 两支箭头在定义域中分别显示 grad f 和 lambda grad g。为便于观察，箭头长度和曲面高度经过缩放；判断是否相等请使用数值残差。
在课堂上试试这个实验
- Q1为什么约束最大值不一定是无约束函数的临界点？
- Q2为什么找到一个驻点候选并不能证明它是全局最大值？
常见问题
目标函数的梯度为零时，能满足乘子方程吗？
可以。在这个正则约束下，乘子为零时即可满足方程。不要求箭头平行且非零。
如果目标函数沿椭圆保持常数，会发生什么？
每个点都是驻点，全局最小值等于最大值；只显示一个代表点并不意味着排除了其他点。