Lagrange-Multiplikatoren-Simulation

Über dieses Experiment

Verfolge eine Zielfunktion entlang einer Ellipse und vergleiche ihren Gradienten mit einem skalierten Gradienten der Nebenbedingung. Finde globale Extremwerte unter Nebenbedingungen und untersuche entartete Fälle, in denen jeder Punkt der Nebenbedingung stationär ist.

Lernziele

Interpretiere die reguläre Nebenbedingung und ihren Normalengradienten.
Prüfe die Stationaritätsgleichung für den Lagrange-Multiplikator.
Vergleiche alle stationären Kandidaten, bevor du die globalen Extremwerte bestimmst.

Anleitung

1Verschieben Sie den Ellipsenparameter und erfassen Sie den Zielfunktions- und Stationaritätsresidualwert.
2Finden Sie das Minimum unter Nebenbedingungen und untersuchen Sie die zusammenfallenden Gradientenpfeile im Definitionsbereich.
3Vergleichen Sie es mit dem Maximum unter Nebenbedingungen und seinem Lagrange-Multiplikator.
4Verwenden Sie eine lineare Zielfunktion und machen Sie anschließend die Zielfunktion auf einem Kreis konstant, um eine vollständig stationäre Nebenbedingung zu untersuchen.

Das Modell

\nabla f = λ \nabla g, g = x^{2} / r_{x}^{2} + y^{2} / r_{y}^{2} = 1

Beide Radien der Ellipse sind positiv, daher verschwindet ihr Nebenbedingungsgradient nie.

x = r_{x} cos θ, y = r_{y} sin θ

Die Parametrisierung ermöglicht eine exakte Erfüllung der Nebenbedingungen.

\frac{df}{d θ} = 0

Ein Polynom in der Tangens-Halbwinkel-Substitution isoliert reelle stationäre Kandidaten; mehrfache Nullstellen und der Winkel pi werden berücksichtigt.

Annahmen

Die Zielfunktion ist eine allgemeine quadratische Funktion mit linearen Termen auf einer kompakten Ellipse. Die angegebenen globalen Extremwerte werden aus ihren stationären Kandidaten ausgewählt.
Die Nullstellenisolation und die Stationaritätsprüfungen verwenden Gleitkommatoleranzen. Eine entlang der Ellipse konstante Zielfunktion wird gesondert erkannt.
Die beiden Pfeile zeigen grad f und lambda grad g im Definitionsbereich. Ihre Längen und die Oberflächenhöhe sind zur besseren Übersicht skaliert; verwenden Sie numerische Residualwerte, um die Gleichheit zu überprüfen.

Im Unterricht ausprobieren

Q1Warum ist ein Maximum unter Nebenbedingungen nicht notwendigerweise ein kritischer Punkt der uneingeschränkten Funktion?
Q2Warum belegt das Finden eines stationären Kandidaten noch nicht das globale Maximum?

Häufig gestellte Fragen

Kann ein verschwindender Gradient der Zielfunktion die Multiplikatorgleichung erfüllen?

Ja. Bei dieser regulären Nebenbedingung erfüllt er die Gleichung mit dem Multiplikator null. Nicht verschwindende parallele Pfeile sind nicht erforderlich.

Was passiert, wenn die Zielfunktion entlang der Ellipse konstant ist?

Jeder Punkt ist stationär, das globale Minimum ist gleich dem Maximum, und eine einzelne angezeigte Repräsentation bedeutet nicht, dass die anderen Punkte ausgeschlossen sind.