この実験について
楕円に沿って目的関数をたどり、その勾配とスケーリングされた制約勾配を比較します。制約付き大域極値を求め、制約上のすべての点が停留点となる退化ケースを検証します。
学習目標
- 正則制約とその法線勾配を解釈します。
- ラグランジュ乗数の停留条件を検証します。
- 大域的極値を特定する前に、すべての停留候補点を比較します。
使い方
- 1楕円のパラメーターを動かし、目的関数の残差と停留条件の残差を記録します。
- 2制約付き最小値を求め、領域内で重なり合う勾配ベクトルを確認します。
- 3制約付き最大値とそのラグランジュ乗数を比較します。
- 4線形目的関数を使った後、円周上で目的関数が一定になるようにして、制約上で完全に停留する状態を確認します。
モデル
前提条件
- コンパクトな楕円上で、目的関数は一般の二次関数と線形項から成ります。報告される大域的極値は、停留候補の中から選ばれます。
- 根の分離と停留条件の検証には浮動小数点の許容誤差を用います。楕円上で目的関数が一定となる場合は、別途検出されます。
- 2本の矢印は、領域内の grad f と lambda grad g を表します。見やすさのため、矢印の長さと曲面の高さはスケーリングされています。等しいかどうかの判断には数値残差を使ってください。
授業で試してみましょう
- Q1制約付き最大値が、制約のない関数の臨界点であるとは限らないのはなぜですか？
- Q2停留候補を1つ見つけただけでは、大域的最大値を確定できないのはなぜですか？
よくある質問
目的関数の勾配がゼロでも、乗数の方程式を満たすことはありますか？
はい。この正則な制約では、乗数がゼロの場合に方程式を満たします。ゼロでない平行な矢印である必要はありません。
目的関数が楕円上で一定の場合、どうなりますか？
すべての点が停留点となり、大域的最小値と最大値は等しくなります。また、代表点を1つだけ表示しても、ほかの点が除外されるわけではありません。