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Moltiplicatori di Lagrange

UniversitàMatematicaFunzione obiettivo quadratica su un vincolo ellittico regolare, con isolamento delle radici stazionarie reali, incluse le radici multiple

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Informazioni su questo esperimento

Segui una funzione obiettivo lungo un’ellisse e confronta il suo gradiente con un gradiente del vincolo scalato. Trova gli estremi globali vincolati ed esamina i casi degeneri in cui ogni punto del vincolo è stazionario.

Obiettivi di apprendimento

  • Interpreta il vincolo regolare e il suo gradiente normale.
  • Verifica l’equazione di stazionarietà del moltiplicatore di Lagrange.
  • Confronta tutti i candidati stazionari prima di individuare gli estremi globali.

Come si usa

  1. 1Sposta il parametro dell’ellisse e registra il residuo dell’obiettivo e della stazionarietà.
  2. 2Trova il minimo vincolato ed esamina le frecce dei gradienti coincidenti nel dominio.
  3. 3Confrontalo con il massimo vincolato e il relativo moltiplicatore.
  4. 4Usa un obiettivo lineare, poi rendi l’obiettivo costante su un cerchio per esaminare un vincolo completamente stazionario.

Il modello

Entrambi i raggi dell’ellisse sono positivi, quindi il gradiente del suo vincolo non si annulla mai.
La parametrizzazione rende esatta la soddisfazione dei vincoli.
Un polinomio ottenuto con la sostituzione della tangente dell’angolo dimezzato individua i candidati stazionari reali; sono incluse le radici multiple e l’angolo pi.

Ipotesi

  • L’obiettivo è una funzione quadratica generale più termini lineari su un’ellisse compatta. Gli estremi globali riportati sono selezionati tra i suoi candidati stazionari.
  • L’isolamento delle radici e i controlli di stazionarietà usano tolleranze in virgola mobile. Un obiettivo costante lungo l’ellisse viene rilevato separatamente.
  • Le due frecce mostrano grad f e lambda grad g nel dominio. Le loro lunghezze e l’altezza della superficie sono scalate per chiarezza; usa i residui numerici per verificare l’uguaglianza.

Provalo in classe

  1. Q1Perché un massimo vincolato non è necessariamente un punto critico della funzione non vincolata?
  2. Q2Perché trovare un candidato stazionario non dimostra che sia il massimo globale?

Domande frequenti

Un gradiente nullo della funzione obiettivo può soddisfare l’equazione dei moltiplicatori?

Sì. Con questo vincolo regolare, soddisfa l’equazione con moltiplicatore zero. Non sono necessari vettori paralleli non nulli.

Cosa succede se la funzione obiettivo è costante lungo l’ellisse?

Ogni punto è stazionario, il minimo globale è uguale al massimo e mostrare un solo rappresentante non significa che gli altri punti siano esclusi.