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Multiplicateurs de Lagrange

UniversitéMathématiquesFonction objectif quadratique sur une contrainte elliptique régulière, avec isolement des racines stationnaires réelles, y compris les racines multiples

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À propos de cette expérience

Suivez une fonction objectif le long d’une ellipse et comparez son gradient à un gradient de contrainte mis à l’échelle. Trouvez les extrema globaux sous contrainte et examinez les cas dégénérés où chaque point de la contrainte est stationnaire.

Objectifs pédagogiques

  • Interprétez la contrainte régulière et son gradient normal.
  • Vérifiez l’équation de stationnarité du multiplicateur de Lagrange.
  • Comparez tous les candidats stationnaires avant de déterminer les extrema globaux.

Comment l’utiliser

  1. 1Déplacez le paramètre de l’ellipse et relevez le résidu de l’objectif et de la stationnarité.
  2. 2Trouvez le minimum sous contrainte et examinez les flèches de gradient confondues dans le domaine.
  3. 3Comparez-le au maximum sous contrainte et à son multiplicateur.
  4. 4Utilisez un objectif linéaire, puis rendez l’objectif constant sur un cercle afin d’examiner une contrainte entièrement stationnaire.

Le modèle

Les deux rayons de l’ellipse sont positifs, donc le gradient de sa contrainte ne s’annule jamais.
La paramétrisation permet de satisfaire exactement les contraintes.
Un polynôme obtenu par la substitution de la tangente du demi-angle isole les candidats stationnaires réels ; les racines multiples et l’angle pi sont inclus.

Hypothèses

  • L’objectif est une fonction quadratique générale assortie de termes linéaires sur une ellipse compacte. Les extrema globaux indiqués sont sélectionnés parmi ses candidats stationnaires.
  • L’isolation des racines et les vérifications de stationnarité utilisent des tolérances en virgule flottante. Un objectif constant le long de l’ellipse est détecté séparément.
  • Les deux flèches représentent grad f et lambda grad g dans le domaine. Leurs longueurs et la hauteur de la surface sont mises à l’échelle pour plus de clarté ; utilisez les résidus numériques pour vérifier l’égalité.

À essayer en classe

  1. Q1Pourquoi un maximum sous contrainte n’est-il pas nécessairement un point critique de la fonction sans contrainte ?
  2. Q2Pourquoi trouver un candidat stationnaire ne permet-il pas d’établir le maximum global ?

Foire aux questions

Un gradient nul de la fonction objectif peut-il satisfaire l’équation des multiplicateurs ?

Oui. Pour cette contrainte régulière, il satisfait l’équation avec un multiplicateur nul. Il n’est pas nécessaire que les vecteurs parallèles soient non nuls.

Que se passe-t-il si la fonction objectif est constante le long de l’ellipse ?

Chaque point est stationnaire, le minimum global est égal au maximum, et l’affichage d’un seul représentant ne signifie pas que les autres points sont exclus.