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Multiplicadores de Lagrange

UniversidadMatemáticasFunción objetivo cuadrática sobre una restricción elíptica regular, con aislamiento de raíces estacionarias reales, incluidas las raíces múltiples

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Acerca de este experimento

Sigue una función objetivo alrededor de una elipse y compara su gradiente con un gradiente de la restricción escalado. Encuentra los extremos globales con restricciones y analiza los casos degenerados en los que todos los puntos de la restricción son estacionarios.

Objetivos de aprendizaje

  • Interpreta la restricción regular y su gradiente normal.
  • Comprueba la ecuación de estacionariedad del multiplicador de Lagrange.
  • Compara todos los candidatos estacionarios antes de identificar los extremos globales.

Cómo usarlo

  1. 1Mueve el parámetro de la elipse y registra el residual del objetivo y de estacionariedad.
  2. 2Encuentra el mínimo condicionado e inspecciona las flechas coincidentes de los gradientes en el dominio.
  3. 3Compáralo con el máximo condicionado y su multiplicador.
  4. 4Usa un objetivo lineal y, después, haz que el objetivo sea constante en un círculo para inspeccionar una restricción totalmente estacionaria.

El modelo

Ambos radios de la elipse son positivos, por lo que el gradiente de su restricción nunca se anula.
La parametrización hace que la satisfacción de las restricciones sea exacta.
Un polinomio obtenido mediante la sustitución de la tangente del ángulo mitad aísla los candidatos estacionarios reales; se incluyen las raíces múltiples y el ángulo pi.

Supuestos

  • El objetivo es una función cuadrática general más términos lineales sobre una elipse compacta. Los extremos globales indicados se seleccionan entre sus candidatos estacionarios.
  • El aislamiento de raíces y las comprobaciones de estacionariedad utilizan tolerancias de coma flotante. Un objetivo constante a lo largo de la elipse se detecta por separado.
  • Las dos flechas muestran grad f y lambda grad g en el dominio. Sus longitudes y la altura de la superficie están escaladas para mayor claridad; usa los residuos numéricos para comprobar la igualdad.

Pruébalo en clase

  1. Q1¿Por qué un máximo condicionado no es necesariamente un punto crítico de la función sin restricciones?
  2. Q2¿Por qué encontrar un candidato estacionario no demuestra que sea el máximo global?

Preguntas frecuentes

¿Puede un gradiente nulo de la función objetivo satisfacer la ecuación de los multiplicadores?

Sí. Con esta restricción regular, satisface la ecuación con multiplicador cero. No se requieren vectores paralelos no nulos.

¿Qué ocurre si la función objetivo es constante a lo largo de la elipse?

Todos los puntos son estacionarios, el mínimo global es igual al máximo y mostrar un único representante no significa que se excluyan los demás puntos.