이 실험 소개
2×2 행렬로 좌표 격자, 단위 정사각형, 선택한 입력 벡터를 변환합니다. 행렬의 원소를 바꾸어 확대·축소, 전단, 반사, 붕괴를 살펴보세요. 변환을 재생하여 중간 선형 사상을 확인하거나 입력 벡터를 드래그해 그 상과 비교할 수 있습니다. 기하학적 의미가 유지되도록 두 축에 같은 축척을 사용합니다.
학습 목표
- 행렬의 열을 좌표 기저 벡터의 상으로 해석하기
- 행렬식의 절댓값과 면적 배율의 관계 이해하기
- 방향 반전과 특이 변환 식별하기
- 회전, 반사, 확대·축소, 전단을 나타내는 행렬 만들기
- 행렬식을 사용하여 행렬에 역행렬이 있는지 판단하기
사용 방법
- 1a와 d는 1, c는 0으로 둔 채 b를 바꾸세요. 수평 전단과 면적 배율을 관찰하세요.
- 2‘90도 회전’을 선택하고 입력 벡터와 최종 변환 벡터를 비교하세요.
- 3‘반사’를 선택하고 행렬식의 부호와 단위 정사각형의 방향을 살펴보세요.
- 4‘붕괴’를 선택한 다음 변환 진행률을 스크럽하세요. 정사각형의 면적이 사라지는 순간에 주목하세요.
- 5행렬의 첫 번째 열을 보고 벡터 (1, 0)이 어디로 이동하는지 확인하세요. 두 번째 열에 대해서도 (0, 1)이 어디로 이동하는지 같은 방법으로 확인하세요.
- 6b = c = 0으로 설정하고 a = 2, d = 0.5로 설정해 신축 변환을 만들어 보세요. 넓이 배율이 1인지 확인하세요.
모델
가정
- 이 사상은 선형이며 원점을 고정합니다. 평행 이동 항은 없습니다.
- 원래 격자와 변환된 격자는 가로와 세로의 축척을 동일하게 하여 그립니다. 격자선은 뷰포트 가장자리에서 잘릴 수 있습니다.
- 재생 중에는 물리적인 강체 회전이 아니라 행렬의 각 원소를 보간합니다. 최종 행렬이 회전 행렬이더라도 중간 사상으로 인해 도형이 줄어들거나, 변형되거나, 붕괴할 수 있습니다.
- 강조 표시된 정사각형은 변환 전 넓이가 1입니다. 입력 벡터를 드래그해도 행렬은 바뀌지 않습니다.
수업에서 해 보기
- Q1행렬 [1, b; 0, 1]을 사용하는 전단 변환은 왜 넓이를 보존하나요?
- Q2특이 행렬에서는 어떻게 서로 다른 두 입력 벡터가 같은 상을 가질 수 있나요?
- Q3항등 행렬에서 반사 행렬로 보간할 때 행렬식이 0을 지날 수 있는 이유는 무엇인가요?
- Q4평면을 180° 회전시키는 행렬은 무엇인가요? 그 행렬식은 얼마인가요?
- Q5행렬식이 0이면 변환을 되돌릴 수 있나요? 왜 그런가요?
자주 묻는 질문
회전 프리셋 애니메이션 중에 정사각형이 줄어들 수 있는 이유는 무엇인가요?
선택한 회전에 해당하는 것은 최종 행렬뿐입니다. 애니메이션은 행렬 원소 사이를 직선으로 보간하므로 중간 행렬은 일반적으로 회전 행렬이 아닙니다.
행렬식이 음수라는 것은 무엇을 의미하나요?
절댓값은 여전히 넓이의 배율을 나타냅니다. 음수 부호는 반사와 마찬가지로 방향이 뒤집혔음을 의미합니다. 행렬식이 0이면 넓이가 선이나 점으로 축소됩니다.
행렬의 열이 왜 그렇게 중요한가요?
첫 번째 열은 (1, 0)이 이동하는 곳이고, 두 번째 열은 (0, 1)이 이동하는 곳입니다. 다른 모든 벡터는 이 두 벡터의 조합이므로, 열들이 변환을 완전히 나타냅니다.