Acerca de este experimento
Transforma una cuadrícula de coordenadas, un cuadrado unidad y un vector de entrada seleccionado con una matriz de 2 × 2. Cambia los elementos para crear estiramientos, cizallamientos, reflexiones y colapsos. Reproduce la transformación para examinar las aplicaciones lineales intermedias, o arrastra el vector de entrada y compara su imagen. Ambos ejes usan la misma escala para que la geometría siga siendo significativa.
Objetivos de aprendizaje
- Interpreta las columnas de la matriz como las imágenes de los vectores de la base coordenada
- Relaciona el valor absoluto del determinante con el factor de escala del área
- Identifica los cambios de orientación y las transformaciones singulares
- Construir matrices para rotaciones, reflexiones, escalados y cizallamientos
- Usar el determinante para decidir si una matriz tiene inversa
Cómo usarlo
- 1Cambia b y deja a y d en 1, y c en 0. Observa un cizallamiento horizontal y su factor de área.
- 2Elige «Girar 90 grados» y compara el vector de entrada con el vector transformado final.
- 3Elige «Reflejar» y examina el signo del determinante y la orientación del cuadrado unidad.
- 4Elige «Colapsar» y luego ajusta el progreso de la transformación. Observa cuándo el cuadrado pierde su área.
- 5Lee la primera columna de la matriz y encuentra el punto al que se transforma el vector (1, 0). Repite el proceso con la segunda columna y el vector (0, 1).
- 6Crea un estiramiento estableciendo a = 2 y d = 0,5, con b = c = 0. Comprueba que el factor de área es 1.
El modelo
Supuestos
- La transformación es lineal y mantiene fijo el origen. No hay término de traslación.
- La cuadrícula original y la transformada se dibujan con la misma escala horizontal y vertical. Las líneas de la cuadrícula pueden quedar recortadas en el borde de la ventana gráfica.
- Durante la reproducción se interpolan las entradas de la matriz, no una rotación rígida física. Las transformaciones intermedias pueden encoger, deformar o colapsar una figura, aunque la matriz final sea una rotación.
- El cuadrado resaltado tiene área unitaria antes de la transformación. Arrastrar el vector de entrada no cambia la matriz.
Pruébalo en clase
- Q1¿Por qué una cizalladura con la matriz [1, b; 0, 1] conserva el área?
- Q2¿Cómo pueden dos vectores de entrada distintos tener la misma imagen bajo una matriz singular?
- Q3¿Por qué la interpolación entre la matriz identidad y una reflexión puede pasar por un determinante nulo?
- Q4¿Qué matriz rota el plano 180°? ¿Cuál es su determinante?
- Q5Si el determinante es 0, ¿puedes deshacer la transformación? ¿Por qué no?
Preguntas frecuentes
¿Por qué puede encogerse el cuadrado durante la animación de la rotación preestablecida?
Solo la matriz final es la rotación seleccionada. La animación sigue una línea recta entre las entradas de la matriz, por lo que, en general, las matrices intermedias no son rotaciones.
¿Qué significa un determinante negativo?
Su valor absoluto sigue dando el factor de área. El signo negativo significa que la orientación se invierte, como en una reflexión. Un determinante igual a cero colapsa el área en una línea o un punto.
¿Por qué son tan importantes las columnas de la matriz?
La primera columna indica adónde va (1, 0), y la segunda, adónde va (0, 1). Cualquier otro vector es una combinación de esos dos, así que las columnas describen por completo la transformación.