Über dieses Experiment
Transformiere mit einer 2×2-Matrix ein Koordinatengitter, ein Einheitsquadrat und einen ausgewählten Eingabevektor. Ändere die Matrixeinträge, um Streckungen, Scherungen, Spiegelungen und Kollaps zu erzeugen. Spiele die Transformation erneut ab, um die Zwischenschritte der linearen Abbildungen zu untersuchen, oder ziehe den Eingabevektor und vergleiche sein Bild. Beide Achsen verwenden denselben Maßstab, damit die Geometrie aussagekräftig bleibt.
Lernziele
- Interpretiere die Matrixspalten als Bilder der Koordinatenbasisvektoren
- Setze den Betrag der Determinante mit dem Flächenskalierungsfaktor in Beziehung
- Erkenne Orientierungsumkehrungen und singuläre Transformationen
- Matrizen für Drehungen, Spiegelungen, Streckungen und Scherungen aufstellen
- Anhand der Determinante entscheiden, ob eine Matrix eine Inverse hat
Anleitung
- 1Ändere b, während a und d auf 1 und c auf 0 bleiben. Beobachte eine horizontale Scherung und ihren Flächenfaktor.
- 2Wähle „Um 90 Grad drehen“ und vergleiche den Eingabevektor mit dem endgültig transformierten Vektor.
- 3Wähle „Spiegeln“ und untersuche das Vorzeichen der Determinante sowie die Orientierung des Einheitsquadrats.
- 4Wähle „Kollaps“ und bewege anschließend den Regler für den Transformationsfortschritt. Achte darauf, wann das Quadrat seine Fläche verliert.
- 5Lies die erste Spalte der Matrix ab und finde heraus, wohin der Vektor (1, 0) abgebildet wird. Wiederhole das für die zweite Spalte und den Vektor (0, 1).
- 6Erzeuge eine Streckung, indem du a = 2 und d = 0,5 sowie b = c = 0 setzt. Überprüfe, ob der Flächenfaktor 1 beträgt.
Das Modell
Annahmen
- Die Abbildung ist linear und lässt den Ursprung fest. Es gibt keinen Verschiebungsterm.
- Das ursprüngliche und das transformierte Gitter werden mit gleichem horizontalem und vertikalem Maßstab gezeichnet. Gitterlinien können am Rand des Ansichtsfensters abgeschnitten werden.
- Bei der Wiedergabe werden die Matrixeinträge interpoliert, nicht eine physische starre Drehung. Zwischenabbildungen können eine Form verkleinern, verzerren oder kollabieren lassen, selbst wenn die Endmatrix eine Drehung ist.
- Das hervorgehobene Quadrat hat vor der Transformation die Fläche eins. Wenn Sie den Eingabevektor ziehen, ändert sich die Matrix nicht.
Im Unterricht ausprobieren
- Q1Warum bleibt bei einer Scherung mit der Matrix [1, b; 0, 1] die Fläche erhalten?
- Q2Wie können zwei verschiedene Eingabevektoren unter einer singulären Matrix dasselbe Bild erhalten?
- Q3Warum kann die Interpolation von der Einheitsmatrix zu einer Spiegelung durch eine Determinante von null verlaufen?
- Q4Welche Matrix dreht die Ebene um 180°? Wie groß ist ihre Determinante?
- Q5Kannst du die Transformation rückgängig machen, wenn die Determinante 0 ist? Warum nicht?
Häufig gestellte Fragen
Warum kann das Quadrat während der Animation der Rotationsvoreinstellung schrumpfen?
Nur die Endmatrix entspricht der ausgewählten Drehung. Die Animation verläuft geradlinig zwischen den Matrixeinträgen, daher sind Zwischenmatrizen im Allgemeinen keine Drehungen.
Was bedeutet eine negative Determinante?
Ihr Betrag gibt weiterhin den Flächenfaktor an. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Orientierung umgekehrt wird, wie bei einer Spiegelung. Eine Determinante von null bildet die Fläche auf eine Linie oder einen Punkt ab.
Warum sind die Spalten der Matrix so wichtig?
Die erste Spalte gibt an, wohin (1, 0) abgebildet wird, und die zweite, wohin (0, 1) abgebildet wird. Jeder andere Vektor ist eine Kombination dieser beiden Vektoren, daher beschreiben die Spalten die Transformation vollständig.