À propos de cette expérience
Transformez une grille de coordonnées, un carré unité et un vecteur d’entrée sélectionné à l’aide d’une matrice 2 × 2. Modifiez les coefficients pour produire des étirements, des cisaillements, des réflexions et des écrasements. Relancez la transformation pour examiner les applications linéaires intermédiaires, ou faites glisser le vecteur d’entrée et comparez son image. Les deux axes utilisent la même échelle afin que la géométrie reste significative.
Objectifs pédagogiques
- Interprétez les colonnes de la matrice comme les images des vecteurs de la base de coordonnées
- Reliez la valeur absolue du déterminant au facteur d’échelle de l’aire
- Identifiez les inversions d’orientation et les transformations singulières
- Construire des matrices pour les rotations, les réflexions, les étirements et les cisaillements
- Utiliser le déterminant pour déterminer si une matrice possède une inverse
Comment l’utiliser
- 1Modifiez b en laissant a et d à 1, et c à 0. Observez un cisaillement horizontal et son facteur d’aire.
- 2Choisissez « Rotation de 90 degrés » et comparez le vecteur d’entrée au vecteur transformé final.
- 3Choisissez « Réflexion » et examinez le signe du déterminant ainsi que l’orientation du carré unité.
- 4Choisissez « Écrasement », puis faites défiler la progression de la transformation. Observez à quel moment le carré perd son aire.
- 5Lis la première colonne de la matrice et trouve où le vecteur (1, 0) est envoyé. Répète l’opération pour la deuxième colonne et le vecteur (0, 1).
- 6Effectue un étirement en définissant a = 2 et d = 0,5, avec b = c = 0. Vérifie que le facteur d’aire est égal à 1.
Le modèle
Hypothèses
- L’application est linéaire et fixe l’origine. Il n’y a pas de terme de translation.
- La grille d’origine et la grille transformée sont dessinées à la même échelle horizontale et verticale. Les lignes de la grille peuvent être coupées au bord de la fenêtre d’affichage.
- La lecture interpole les coefficients de la matrice, et non une rotation rigide physique. Les transformations intermédiaires peuvent rétrécir, déformer ou réduire une forme à un point, même si la matrice finale est une rotation.
- Le carré mis en évidence a une aire égale à un avant la transformation. Faire glisser le vecteur d’entrée ne modifie pas la matrice.
À essayer en classe
- Q1Pourquoi un cisaillement de matrice [1, b; 0, 1] conserve-t-il l’aire ?
- Q2Comment deux vecteurs d’entrée différents peuvent-ils avoir la même image par une matrice singulière ?
- Q3Pourquoi l’interpolation entre la matrice identité et une réflexion peut-elle passer par un déterminant nul ?
- Q4Quelle matrice effectue une rotation de 180° dans le plan ? Quel est son déterminant ?
- Q5Si le déterminant est égal à 0, peux-tu inverser la transformation ? Pourquoi ?
Foire aux questions
Pourquoi le carré peut-il rétrécir pendant l’animation du préréglage de rotation ?
Seule la matrice finale correspond à la rotation sélectionnée. L’animation suit une ligne droite entre les coefficients de la matrice ; les matrices intermédiaires ne sont donc généralement pas des rotations.
Que signifie un déterminant négatif ?
Sa valeur absolue donne toujours le facteur d’aire. Son signe négatif signifie que l’orientation est inversée, comme lors d’une réflexion. Un déterminant nul réduit l’aire à une ligne ou à un point.
Pourquoi les colonnes de la matrice sont-elles si importantes ?
La première colonne indique où va (1, 0), et la deuxième où va (0, 1). Tout autre vecteur est une combinaison de ces deux vecteurs, donc les colonnes décrivent complètement la transformation.