この実験について
2×2行列を使って、座標グリッド、単位正方形、選択した入力ベクトルを変換します。行列の成分を変えて、拡大・縮小、せん断、反射、つぶしを試してみましょう。変換を再生して途中の線形写像を確認したり、入力ベクトルをドラッグしてその像と比べたりできます。幾何学的な意味が保たれるよう、両方の軸で同じ縮尺を使っています。
学習目標
- 行列の各列を、座標基底ベクトルの変換後の像として解釈する
- 行列式の絶対値と面積倍率の関係を確認する
- 向きの反転と特異変換を見分ける
- 回転、反射、伸縮、せん断を表す行列を作る
- 行列が逆行列を持つかどうかを行列式で判断する
使い方
- 1aとdを1、cを0のままにして、bを変えてください。水平せん断とその面積倍率を観察しましょう。
- 2「90度回転」を選び、入力ベクトルと変換後のベクトルを比べてください。
- 3「反射」を選び、行列式の符号と単位正方形の向きを確認してください。
- 4「つぶし」を選び、変換の進行状況をスクラブしてください。正方形の面積がなくなるタイミングに注目しましょう。
- 5行列の第1列を見て、ベクトル (1, 0) がどこに移るかを確認しましょう。第2列についても同様に、(0, 1) がどこに移るかを確認します。
- 6b = c = 0 とし、a = 2、d = 0.5 に設定して伸縮変換を行いましょう。面積倍率が 1 であることを確認してください。
モデル
前提条件
- この写像は線形で、原点を固定します。平行移動項はありません。
- 変換前と変換後の格子は、横方向と縦方向で同じ縮尺で描画されます。格子線はビューポートの端で切れることがあります。
- 再生では、物理的な剛体回転ではなく、行列の各要素を補間します。最終行列が回転行列でも、中間の写像によって図形が縮小、変形、または潰れることがあります。
- 強調表示された正方形の変換前の面積は1です。入力ベクトルをドラッグしても、行列は変化しません。
授業で試してみましょう
- Q1行列 [1, b; 0, 1] のせん断変換が面積を保つのはなぜですか？
- Q2特異行列によって、異なる2つの入力ベクトルが同じ像を持つことがあるのはなぜですか？
- Q3単位行列から鏡映行列への補間で、行列式が0になることがあるのはなぜですか？
- Q4平面を 180° 回転させる行列はどれですか？その行列式はいくつですか？
- Q5行列式が 0 の場合、変換を元に戻せますか？それはなぜですか？
よくある質問
回転プリセットのアニメーション中に、正方形が縮むことがあるのはなぜですか？
選択した回転になるのは最終行列だけです。アニメーションは行列要素間を直線的に補間するため、中間の行列は一般に回転行列ではありません。
行列式が負であるとはどういう意味ですか？
絶対値は引き続き面積の倍率を表します。負の符号は、鏡映の場合と同様に向きが反転していることを意味します。行列式がゼロの場合、面積は線または点に押しつぶされます。
行列の列ベクトルがとても重要なのはなぜですか？
第1列は (1, 0) の移る先、第2列は (0, 1) の移る先です。それ以外のすべてのベクトルは、この2つのベクトルの組み合わせなので、列ベクトルが変換を完全に表します。