關於此實驗
使用一個 2×2 矩陣轉換座標網格、單位正方形和選取的輸入向量。更改矩陣元素，觀察拉伸、剪切、反射和壓縮。重播轉換以查看中間的線性映射，或拖曳輸入向量並比較它的像。兩個座標軸使用相同的比例尺，以確保幾何關係仍有意義。
學習目標
- 將矩陣的欄視為座標基底向量的像
- 了解行列式的絕對值與面積縮放因子的關係
- 辨識方向反轉和奇異轉換
- 為旋轉、反射、伸縮和剪切建立矩陣
- 使用行列式判斷矩陣是否有反矩陣
使用方法
- 1保持 a 和 d 為 1、c 為 0，只改變 b。觀察水平剪切及其面積縮放因子。
- 2選擇「旋轉 90 度」，並比較輸入向量與最終轉換後的向量。
- 3選擇「反射」，並查看行列式的符號以及單位正方形的方向。
- 4選擇「壓縮」，然後拖曳轉換進度。注意正方形在何時失去面積。
- 5查看矩陣的第一欄，找出向量 (1, 0) 的變換結果。對第二欄和向量 (0, 1) 重複此操作。
- 6設定 a = 2、d = 0.5，並令 b = c = 0，進行一次伸縮變換。檢查面積縮放因子是否為 1。
模型
假設
- 此映射是線性的，並固定原點。沒有平移項。
- 原始網格和轉換後的網格以相同的水平與垂直比例繪製。網格線可能會在視埠邊緣遭到裁切。
- 播放時插值的是矩陣各元素，而非物理意義上的剛體旋轉。即使最終矩陣是旋轉矩陣，中間映射也可能使圖形縮小、變形或塌縮。
- 反白顯示的正方形在轉換前的面積為 1。拖曳輸入向量不會改變矩陣。
在課堂上試試這個實驗
- Q1為什麼矩陣為 [1, b; 0, 1] 的剪切變換能保持面積？
- Q2奇異矩陣如何讓兩個不同的輸入向量得到相同的像？
- Q3為什麼從單位矩陣插值到反射矩陣時，行列式可能會經過 0？
- Q4哪個矩陣能將平面旋轉 180°？它的行列式是多少？
- Q5如果行列式為 0，能否復原此變換？為什麼？
常見問題
為什麼在旋轉預設動畫過程中，正方形可能會縮小？
只有最終矩陣才是所選的旋轉矩陣。動畫沿著矩陣各元素之間的直線進行插值，因此中間矩陣通常不是旋轉矩陣。
行列式為負代表什麼？
其絕對值仍表示面積縮放因子。負號代表方向反轉，就像鏡射一樣。行列式為零時，面積會塌縮成一條線或一個點。
為什麼矩陣的欄如此重要？
第一欄表示 (1, 0) 的變換結果，第二欄表示 (0, 1) 的變換結果。其他所有向量都是這兩個向量的線性組合，因此矩陣的欄完整地描述了此變換。